Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент x конечномерного пространства X представим единственным образом в виде

x = a₁e₁ + a₂e₂ + ... + a_ne_n,

 где  — поле(часто  или ), над которым рассматривается пространство X,  — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

• Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.

• Пусть X — конечномерное пространство и {x₁,x₂,...,x_k} — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.

• Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.

Ортогонализация базиса

В конечномерном евклидовом пространстве E базис называется ортонормированным, если .

Теорема Грама-Шмидта

Во всяком евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.

Доказательство

1. Пусть в E дан некоторый, вообще говоря, неортогональный базис . Построим вначале базис из попарно ортогональных элементов. Последовательное построение этих элементов будем называть процессом ортогонализации базиса.

Возьмем . Элемент будем искать в виде , где - некоторая константа. Подберем так, чтобы ,

для этого достаточно, чтобы

, .

Заметим, что . Действительно, из следует линейная зависимость и , что противоречит условию принадлежности этих элементов базису (см. лемму 7.2.2.).

2. Допустим теперь, что нам удалось ортогонализовать элемент, и примем в качестве элемент . Потребуем, чтобы . Тогда, в силу предположения, что , имеем

=0;

Покажем теперь, что в этом случае . Допустим противное: . Однако поскольку все элементы по построению есть некоторые линейные комбинации элементов , мы приходим к линейной зависимости , что противоречит условию теоремы. Следовательно, .

3. Процесс ортогонализации продолжается до исчерпания множества элементов , после чего достаточно пронормировать полученные элементы , чтобы получить искомый ортонормированный базис .

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта может быть применен к любой, в том числе и к линейно зависимой, системе элементов евклидова пространства. Если ортогонализуемая система линейно зависима, то на некотором шаге мы получим нулевой элемент, после отброса которого можно продолжить процесс ортогонализации.

Переход от одного ортонормированного базиса к другому.

Согласно определению 5.1.4. матрица , удовлетворяющая соотношению , называется ортогональной, причём для любой ортогональной матрицы справедливы равенства =||E|| и . Кроме того, в евклидовом пространстве будут справедливы следующие теоремы.

Ортогональные матрицы (и только они) в могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Рассмотрим два различных ортонормированных базиса и в E с матрицей перехода от первого базиса ко второму. Поскольку в этих базисах матрица Грама единичная, то из соотношения следует равенство , или . Поскольку матрица перехода невырожденная, то, окончательно, имеем .

В развернутой форме равенство принимает вид , которое для частного случая было получено в §2.9.

Теорема доказана.

Ортогональное дополнения подпространства.

Пусть в E задано некоторое подпространство E₁. Рассмотрим множество E₂E элементов x, ортогональных всем элементам из E₁.

Определение

В евклидовом пространстве E совокупность элементов таких, что для называется ортогональным дополнением множества E₁.

Теорема

Ортогональное дополнение мерного подпространства является подпространством размерности .

Пусть в E со стандартным скалярным произведением дан ортонормированный базис и пусть E₂ ортогональное дополнение к E₁ . Выберем некоторый базис в E₁ . Тогда из условия ортогональности произвольного элемента xE₂ каждому элементу E₁ следует (см. теорему 7.4.1.), что или же, в координатной форме,

, где и .

Эта однородная система линейных уравнений (неизвестные в которой есть компоненты элемента ), определяющая ортогональное дополнение E₂ , имеет ранг в силу линейной независимости элементов . Тогда, по теореме 6.7.1., у нее есть линейно независимых решений, образующих базис подпространства E₂.

Теорема доказана.

Теорема

Если E₂ ортогональное дополнение подпространства E₁E, то E₁ является ортогональным дополнением E₂ .

Доказательство:

Для каждого элемента xE₂ по условию следствия имеет место равенство . Но это означает, что для каждого yE₁ справедливо , то есть E₁ является ортогональным дополнением к E₂ в E .

Теорема доказана.

Комментарии