Ортогональное проектирование на подпространство.

Так как ,каждый вектор однозначно раскладывается в сумму векторов и . Вектор называется ортогональной проекцией x на . Тогда – ортогональная проекция x на .

Найдем ортогональную проекцию x на в предположении ,что в задан некоторый ортогональный базис . Дополним этот базис до ортогонального в пространстве , присоединив к нему произвольный ортогональный базис из. Так как суммаи прямая ,искомое разложение вектора x единственно и группируя слагаемые в формуле разложения вектора получаем (18).

Если k=1 ,проекция имеет вид и ясно,что правая часть формулы (18) – сумма проекций на ортогональные одномерные подпространства ,натянутые на .То же означает и формула разложения вектора по базису ,а значит равенство Парсеваля является обобщением теоремы Пифагора.

Из следует ,что =. Длина

ортогональной проекции x на обладает следующим свойством минимальности :

Пусть – ортогональная проекция x на . Тогда для любого вектора , отличного от x выполняется :

○ Обозначив через z имеем

== . Но так как ,и следовательно ,откуда следует доказываемое утверждение.●

Сопряженные преобразования ,их свойства .

Линейное преобразование A* евклидова пространства называется сопряженным преобразованию A ,если для любых векторов x и y имеет место (A(x), y) = (x, A*(y)). (1)

Допустим ,что данное преобразование A имеет сопряженное А*. Выясним связь матриц преобразования А и А* в некотором базисе е. Обозначим эти матрицы через А и А*, а координатные столбцы векторов x и y через и . Тогда равенство (1) можно переписать в координатной форме , где Г матрица Грама базиса е.

После транспонирования : , т.е. левая и правая части (1) — билинейные функции , а и матрицы этих функций в базисе е . Если значения функций равны при любых x и y то матрицы этих функций равны , т. е. : (связь между матрицами). В случае ОНБ имеем : . (4)

Каждое линейное преобразование евклидова пространства имеет единственное сопряженное преобразование.

○Для док-ва выберем ОНБ e и рассмотрим линейное преобразование В ,матрица которого в базисе равна .Подставим В вместо А* в определение (1) . Это приведет к равенству , т.е. В является сопряженным для А. Если бы имелось два преобразования ,сопряженных одному и тому же А ,то в силу (4) они бы совпадали .●

Так как , то из (4) выходит : (А*)* =А.

Для любых двух преобразований А и В из получаем (АВ)* =В*А* .

Из формулы (4) также следует что характеристические многочлены А и А* совпадают. Следовательно собственные значения преобразований и их кратности одинаковы.

Геометрическое истолкование теоремы Фредгольма для системы Ах=bx из n уравнений с n неизвестными. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство и ОНБ в нем.

Каждый столбец будет координатным столбцом некторого вектора ,а матрица А – матрицей линейного перобразования А.

Система совместна ,если существует такой вектор x что A(x) = b , т.е. b принадлежит множеству значений Im A преобразования A. С другой стороны сопряженная однородная системаравносильна условию A*(y) = o , т.е. является системой уравнений для

Ker A* .Тогда теорема Фредгольма эквивалентна следующей утверждению :

тогда и только тогда когда (b,y) = o для любого , т. е. приходим к такой ее формулировке :

Множество значений преобразования А совпадает с ортогональным дополнением ядра его сопряженного преобразования : .

○=(x,o)=0. Тогда Сравнение размерностей показывает,что пространства совпадают.●

Комментарии