Самосопряженные преобразования. Свойства их собственных векторов и собственных значений.

Линейное преобразование А евклидова пространства называется самосопряженным, если A=A*. Это равносильно тому, что (A(x) ,y)=(x,A(y)) для любых x и y.

Из формулы A*= следует

Предложение 3. Преобразование является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе симметрична.

Теорема 1. Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественны.

Доказательство. Допустим, что самосопряженное преобразование А имеет не вещественный корень характеристического многочлена. Тогда существует двумерное инвариантное подпространство , не содержащее собственных векторов А. Обозначим через А' ограничение А на . Поскольку А' — самосопряженное преобразование, в ортонормированном базисе оно будет иметь симметричную матрицу .

Характеристический многочлен этой матрицы + имеет дискриминант -4. Последнее легко преобразуется в . Следовательно, дискриминант неотрицателен, характеристический многочлен имеет вещественный корень, а преобразование A'— собственный вектор, что противоречит выбору подпространства . Теорема доказана.

Доказанное утверждение допускает следующую матричную формулировку.

Предложение 4. Если А — вещественная симметричная матрица, то все корни уравнения det(A — Е) = 0 вещественны.

Теорема 2. Собственные подпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны.

Теорема равносильна следующему утверждению.

Если собственные векторы самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным значениям, то они ортогональны.

Докажем его. Пусть А(х) = х и А(у) = у, причем . Тогда (А(х),у) = (х,у).

Но иначе можно получить (А(х),у) = (x,A(y))= (x,y).

Из этих двух равенств следует ()(x, у) = 0, откуда (x,у) = 0, как и требовалось.

Теорема 3. Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного преобразования A, то ортогональное дополнение - этого подпространства — также инвариантно относительно А.

Доказательство. Нам дано, что для каждого х из образ А(х) также лежит в . Поэтому (А(х),у) = 0 для любого . Но для самосопряженного А это равносильно (х,А(у)) = 0, и, следовательно, , как и требовалось.

Теорема 4. Пусть А — самосопряженное преобразование евклидова пространства . Тогда в существует ортонормированный базис из собственных векторов А.

Доказательство. Обозначим через сумму собственных подпространств преобразования А и докажем, что она совпадает с .

Сумма собственных подпространств — инвариантное подпространство. Действительно, если вектор х раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (принадлежащих каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается по ним же.

Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение также инвариантно. Допустим, что подпространство ненулевое и рассмотрим ограничение А' преобразования А на . Это —самосопряженное преобразование, и потому оно имеет вещественные характеристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор. Этот вектор собственный и для А и должен лежать в . Так как он ненулевой, в - он лежать не может. Полученное противоречие показывает, что — нулевое подпространство, и совпадает с .

Поскольку сумма собственных подпространств — прямая сумма, требуемый базис в можно выбрать как объединение ванных базисов собственных подпространств. Этот базис будет нормированным, так как векторы базиса, лежащие в разных собственных подпространствах, ортогональны по теореме 2.

Доказанная теорема допускает такую матричную формулировку.

Предложение 5. Если А — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица S такая, что AS —диагональная матрица.

Действительно, матрица А задает самосопряженное преобразование в ортонормированном базисе. В качестве S можно взять матрицу перехода от этого базиса к базису, остроенному в теореме 4.

Для теоремы 4 справедлива обратная теорема.

Предложение 6. Если существует ортонормированный базис из собственных векторов линейного преобразования А евклидова пространства, то А самосопряженное.

Действительно, в таком базисе матрица преобразования диагональная, а потому симметричная. А = A* по предложению 3.

Комментарии