Ортогональные преобразования. Их свойства. Координатный признак ортогональности.

Два евклидовых пространства и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение А:, при котором (А(х),А(у)) = (х,у) (1) для любых х и у из .

Предложение 7. Произвольное отображение евклидова пространства в евклидово пространство той же размерности является изоморфизмом, если оно сохраняет скалярное произведение.

Ортогональные преобразования. Преобразование А евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т. е. если условие (1) выполнено для любых векторов из . Из предложения 7 следует, что ортогональное преобразование является изоморфизмом на себя.

Предложение 8. Если преобразование ортогонально, и только в этом случае, сопряженное ему преобразование является обратным к нему.

Действительно, по формуле (1) имеем (х,А*А(у)) = (х,у), или (х,А*А(у) — у) = 0. Это означает, что вектор А*А(у) — у ортогонален любому вектору пространства и, следовательно, является нулевым. Поскольку равенство А*А(у) = у выполнено для всех у, преобразование A*A является тождественным, что равносильно доказываемому утверждению. Обратно, из равенства А*А = Е легко получить (1).

Предложение 9. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе является ортогональной.

Это прямо следует из формулы A*= и предложения 8.

Предложение 10. Для двух ортонормированных базисов е и f найдется единственное ортогональное преобразование А, для которого A() = (i = l,...,n).

Доказательство. Преобразование, переводящее е в f, существует и единственно: его матрица в базисе е состоит из координатных столбцов векторов ,..., в базисе е. Преобразование является ортогональным, так как его матрица в ортонормированном базисе ортогональная (она же служит матрицей перехода от е к f).

Предложение 11. Собственные значения ортогонального преобразования по абсолютной величине равны единице.

Действительно, для любого собственного вектора x мы имеем (А(х),А(х)) = (x,x) и (А(х),А(х)) = (ж,ж). Отсюда = 1.

Предложение 12. Если — подпространство, инвариантное относительно ортогонального преобразования А, то его ортогональное дополнение - также инвариантно относительно А.

В самом деле, ортогональное преобразование взаимно однозначно, и потому переводит каждое подпространство в подпространство той же размерности. Так как инвариантно, имеем А() = . Если , а , то 0 = (x, у) = (А(х),А(у)). Таким образом, А(у) принадлежит (A()). Но из А() = следует A()= . Поэтому А(у) , как и требовалось.

Теорема 6. Пусть А — ортогональное преобразование n-мерного евклидова пространства . Тогда — прямая сумма попарно ортогональных одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно А.

Для доказательства воспользуемся индукцией. Для пространств размерностей 1 и 2 утверждение очевидно. Предположим, что мы доказали теорему для пространств размерностей k-1 и k-2, и докажем ее для k-мерного пространства. По следствию из предложения 8

В существует или одномерное, или двумерное инвариантное подпространство . Его ортогональное дополнение —инвариантное подпространство k-1 или k-2. К ограничению преобразования А на мы применим предположение индукции. Подпространства ,..., на которые распадается , инвариантны относительно А.

dim= dim+dim. По предположению индукции dim= dim + ... + dim. Таким образом, для подпространств ,..., размерность суммы равна сумме размерностей, и, следовательно, сумма прямая. Теорема доказана.

Комментарии