1. Метрическое пр-во. Св-ва открытых и замкнутых мн-в в метрическом пр-ве.

Мн-во X — метрическое пр-во, если каждой паре эл-тов х и у этого мн-ва поставлено в соответствие неотрицательное число (х,у), называемое расстоянием между элементами х и у, такое, что для x,y, выполнены след. усл-я:
1)(х,у)=0 х=у
2)(х,у)=(у,х)
3).
Элементы метрического пр-ва называются точками, - метрика, (1)-(3) — аксиомы метрики. Метрика — функция, определена на множестве пар точек метрического пр-ва.

Пр-во . Точками пр-ва явл-ся упорядоченные совокупности из n вещ-ных чисел х=(,...,), у=(,...,), z=(,...,). Расст-е м/д точками х и у опр-ся ф-лой (х,у)=. (1) и (2) аксиомы, очевидно, выполняются. (3) проверим, доказав вспомогательные нер-ва.

Нер-во Коши-Буняковского. * - для любых вещ-ных чисел , ,...,,. Д-во: Рассм. квадр. трехчлен Р()==A+2B*+C*, где А=, В=, C=. Трехчлен неотрицателен , отсюда получаем искомое нер-во.

Нер-во Минковского. +. Д-во: по нер-ву Коши =+2+ меньше либо равно +2*+=. Извлекаем из обеих частей корень, получаем искомое.

Полагая =-, =-, получим + - то есть нер-во треугольника для (х,у) в пр-ве .

Шар радиуса r с центром в т.а опр-ся как мн-во ={x: , }. В - ={x: x=(,...,), , <}.

Пусть М — мн-во точек в метрическом пр-ве Х. Точка - внутренняя точка мн-ва М, если , т.е точка x принадлежит мн-ву М вместе с некоторым шаром с центром в этой точке. Совокупность всех внутренних точек мн-ва М — его внутренность (int M). М - открытое мн-во в метрическом пр-ве Х, если все его точки — внутренние, то есть int M=M. Пустое мн-во считать открытым по определению.

Теорема. Открытые мн-ва в метрическом пр-ве обл. след. св-вами: 1)все пр-во Х и пустое мн-во — открытые 2)объединение любого мн-ва открытых мн-в — открытое мн-во 3)пересечение конечного числа открытых мн-в — открытое мн-во.

Д-во: (1) — очевидно. 2)Пусть G=, где - открытые мн-ва. Пусть точка . Тогда сущ-ет такое, что . Но - открытое, поэтому сущ-ет шар , тем более, . Точка а — внутрення точка мн-ва G. В силу её произвольности, G – открытое. 3)Пусть G=, где - открытое. Возьмем любую точку . Тогда , i=. - открытые сущ-ют шары . Пусть =. тогда , i=. Поэтому =G, след-но G – открытое мн-во.

Пусть Х — метрическое пр-во. Окрестностью точки будет наз-ся любое мн-во О(), для кот-ого - внутренняя. Точка - предельная точка мн-ва , если в любой окр-ти этой точки есть точки мн-ва М, отличные от неё. Точка мн-ва М, не явл. предельной — изолированная. Мн-во - замкнутое, если оно содержит все свои предельные точки. Мн-во, кот-ое получается, если присоединить к мн-ву М все его предельные точки, наз-ся замыканием М и обозн. .

Теорема. Для того, чтобы мн-во F в метрическом пр-ве X было замкнутым, необх. и дост-но, чтобы его дополнение X\F было открытым.

Д-во: 1)[Необх-ть] Пусть мн-во содержит все свои предельные точки. Если его дополнение G= X\F – не явл. открытым, то сущ-ет точка , не явл. внутренней точкой мн-ва G. Тогда в любой окр-ти О(а) есть точки, не принадл. G, то есть принадл. F a – предельная точка мн-ва F. F- замкнуто . С другой стороны, =X\F и след-но, . Противоречие док-ет, что все точки G= X\F — внутренние, то есть G – открытое. 2)[Дост-ть] Пусть G= X\F — открыто. Пусть а — пред.точка F. Предположим, . Тогда , а мн-во G — открыто, то , но тогда =. и след-но, a не может быть пред.точкой F. Поэтому мн-во F содержит в себе все свои пред.точки, то есть замкнуто.

Теорема. Замкнутые мн-ва обл. след. св-вами: 1) X и - замкнуты 2)пересечение любого мн-ва замкнутых мн-в — замкнутое мн-во 3)объединение конечного числа замкнутых мн-в есть замкнутое мн-во.

Д-во. (1) — очевидно. 2) пусть F=, -замкнутые. В силу закона двойственности X\F=\. В силу предыдущей теоремы мн-ва Х\ открыты как дополнения замкнутых мн-в. Их объединение X\F есть открытое мн-во. В силу той же теоремы F — замкнуто. 3) Док-ся аналогично.

Комментарии