Понятие определенного интеграла. Пусть функция одного переменного f(x) определена на отрезке и пусть - совокупность точек этого отрезка таких, что a=<=b.

Назовем эту совокупность точек разбиением отрезка , обозначим разбиение , а отрезки , где , назовем отрезками разбиения T.

Пусть - длина i-го отрезка разбиения T. Тогда число назовем мелкостью разбиения T (или диаметром этого разбиения). Если , то совокупность точек назовем выборкой и обозначим .

Сумму

= (1)

назовем интегральной суммой для функции f при заданном разбиении T и фиксированной выборке .

Определение. Число J называется определенным интегралом от функции f на отрезке и обозначается , если для любого существует такое число , что для любого разбиения T , мелкость которого ,и для любой выборки выполняется равенство .

С помощью символов это определение можно записать так:

>0: (2)

Часто утверждение (2) записывают в виде при или , имея ввиду, что предел не зависит от выборки .

Если существует число J, определяемое условиями (2), то функцию f называют интегрируемой (по Риману) на отрезке и говорят, что существует интеграл от функции f на отрезке .

Свойства: линейность и аддитивность относительно отрезков интегрирования.

1. Линейность. Если функции интегрируемы на отрезке , то для любых чисел , функция также интегрируема на отрезке и

=.

2. Аддитивность. Если функция f интегрируема на отрезках и , то она интегрируема и на отрезке , причем

= + , .

Комментарии