Пусть {} — последовательность точек метрического пространства X. Говорят, что последовательность точек {} сходится к точке а (имеет предел а) и пишут = а, если =0. Последовательность точек {} называется ограниченной, если и такие, что для любого выполнено неравенство.

Лемма 1. Если последовательность {} имеет предел, то она ограничена.

Лемма 2. Последовательность {} не может сходиться к двум различным точкам.

Лемма 3. Для того чтобы последовательность точек {} метрического пространства , где , сходилась к пределу а=(), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства , i=.

Лемма 4. Если последовательность точек {} метрического пространства X сходится, то она фундаментальна.

Теорема 1. Пространство полное.

Док-во. Пусть {} — фундаментальная последовательность точек в .

Если , то числовые последовательности {} фундаментальны при i=. В самом деле, такое, что для любых k,mN выполнено неравенство . Но

, i=.

Числовая последовательность {} в силу критерия Коши является сходящейся при i=. По лемме 3 сходится и последовательность точек {} в .

Компакт в метрическом пространстве.

Множество М в метрическом пространстве X называется компактом в X, если из

любой последовательности точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству М. Например, отрезок [а, b] есть компакт в R, а промежуток [а, b) не является компактом в R.

На пространство обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема 5. Из любой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

Док-во. Ограничимся случаем пространства . В общем случае доказательство аналогично. Пусть — произвольная ограниченная последовательность точек пространства . Числовая последовательность {} ограничена. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {}. Тогда у последовательности точек последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности

{} сходящуюся подпоследовательность {}. У последовательности точек {} сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек {} сходится в .

Следствие. Для того чтобы множество было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество М было ограниченным и замкнутым.

Док-во Необходимость доказывается. Докажем достаточность. Пусть множество М ограничено и замкнуто в пространстве . Возьмем произвольную последовательность точек . Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность {}, сходящуюся к точке а. В силу замкнутости множества М точка .

Комментарии