Вычисление площади криволинейной трапеции и длины дуги с помощью определенного интеграла.

Криволинейная трапеция — фигура G, задаваемая на плоскости Oxy условиями G={(x,y): axb, 0yf(x)}, где f(x) — непрерывная на отрезке [a;b] ф-ция.

Утверждение 1. Криволинейная трапеция G — квадрируемая фигура, площадь которой S=S(G) выражается формулой S=f(x)dx. (1)

Док-во: Пусть T={, i=} - разбиение отрезка [a;b], и - соответственно наибольшее и наименьшее значения f на =[;], =-, i=.1) Рассмотрим клеточную фигуру q, составленную из прямоугольников (i=), таких, что длина основания i-го прямоугольника равна , а высота . Аналогично опр-ся фигура Q, составленная из фигур , где- прямоугольник с параметрами и , i=. Очевидно, что qGQ, площади фигур q и Q соотв. равны S(q)= , S(Q)=. Заметим, что S(q)=, S(Q)=(2), где и - соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для ф-ции f при разбиении T отрезка [a;b]. 2)f(x) непр. на [a;b] (в силу критерия интегрируемости) >0 найдется такое разбиение Т, что 0-<. Иными словами, сущ-ют клеточные фигуры Q и q такие, что qGQ, 0S(Q)-S(q) <, т.е. G – удовлетворяет усл-ям квадрируемости и потому в силу (2) справедливо рав-во S(G)=sup=inf(3). Используя следствие из критерия интегрируемости ф-ции, получаем sup=inf=f(x)dx (4). Из (3) и (4) следут, что S=S(G) выражается ф-лой (1).

Утверждение 2. Если кривая Г, заданная ур-ем Г={r=r(t), } непрерывно дифференцируема, то её длина S выражается ф-лой: S= .

Док-во: В первом семестре было док-но, что непрерывно дифференцируемая кривая Г спрямляема (имеет длину), а проивзодная переменной длины дуги s(t) этой кривой выр-ся ф-лой s'(t)=. Пусть S — длина всей кривой Г, тогда используя данное нер-во и ф-лу Ньютона-Лейбница получим ==s()-s()=S, т.к. s()=S, а s()=0.

Комментарии