Вычисление площади поверхности вращения

Пусть неотрицательная и непрерывная на отрезке функция

разбиение отрезка ,

последовательно точки ,

ломаной .Тогда

При вращении вокруг оси

откуда следует, что площадь поверхности, получаемой при вращении ломаной

вокруг оси

Если существует , где

вокруг оси

Утверждение 7.

Если функция существует, а площадь

• Из формул (28) и (27) следует, что

где

где

Прибавим и вычтем к правой части равенства (33) интегральную сумму (30), соответствующую разбиению , то есть сумму

Поэтому для доказательства формулы (30) достаточно показать,

что

при

Из (33) и (34) следует,что

При оценке величины из отрезка

[a,b], удовлетворяющих условию выполняется неравенство

(37)

где число С>0 будет выбрано ниже.

Пусть разбиение Т удовлетворяет условию l(T)=,тогда

, так как

Из (37) следует,что

(38)

В силу непрерывности функции на отрезке

(39)

Из (36),(37) и (39)

Отсюда видно,что

что и треовалось доказать

Комментарии