Несобственные интегралы.

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при удовлетворяют неравенствам . Тогда:
если сходится интеграл , то сходится интеграл ;
если расходится интеграл , то расходится интеграл .
(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).
Док-во: если и , то функции F(b)=и G(b)=- монотонно возрастающие функции верхнего предела b (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть сходится. G(b) ограничена <, F(b) ограничена, т.е. сходится. Пусть расходится F(b) неограничена G(b) неограничена, т.е. расходится.

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b] и пусть существует конечныйТогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Док-во. Так как функции неотрицательны, то K > 0. По определению предела для=K/2 существует такое значение , что при выполняется:

. Дальше рассуждения простые: пусть = min{a, }; если сходится , то сходится , тогда, по теореме сравнения, сходится сходится сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится расходится расходится.

Комментарии