Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

Теорема. Для сходимости несобственного интеграла I= необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: .

Док-во: Обозначим =, . Тогда сходимость интеграла I означает существование конечного предела ф-ции при а этот предел (по критерию Коши для ф-ций) сущ-ет тогда и только тогда, когда F удовлетворяет условию : . В силу свойств интеграла следует, что =. Поэтому условие для ф-ции F выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие теоремы, если взять =.

Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.

Несобственный интеграл I= называется: а)абсолютно сходящимся, если сходится интеграл =, в этом случае говорят, что ф-ция f абс. интегрируема на промежутке [a;b); б)условно сходящимся, если интеграл I сходится, а расходится.

Теорема. Если несобственный интеграл сходится, то интеграл I также сходится и выполняется неравенство: .

Док-во: 1)Из сходимости следует, что для него выполняется условие Коши, то есть: . По определению несобственного интеграла I ф-ция f(x) интегрируема по Риману на отрезке с концами и поэтому ф-ция также интегрируема по Риману на этом отрезке. Далее применим правило оценки интегралов и получим: , отсюда следует что f удовлетворяет условию Коши, и по достаточному признаку сходимости сходится интеграл I. 2) - это нер-во справедливо [a;b). В силу сходимости I и сущ-ют пределы при левой и правой частей этого нер-ва, равные соответственно I и . Переходим к пределу, получаем .

Комментарии