Признак сходимости (Дирихле) для несобственных интегралов.

Теорема. Пусть ф-ция f непрерывна, а ф-ция g имеет непрерывную производную на промежутке [a;)и выполняются следующие условия: 1)ф-ция F(x)= (первообразная для f) ограничена на [a;), т.е. [a;) ; 2)ф-ция g'(x) не меняет знака на промежутке [a;), т.е. или ; 3)=0. Тогда интеграл I= сходится.

Док-во: 1) Покажем, что ф-ция fg на промежутке [a;) удовлетворяет усл-ю Коши. По формуле интегрирования по частям для >a, >a получим: =F(x)g(x)- . Из 1-ого усл-я теоремы следует, что , . По 2-ому условию теоремы =-g'(x) или =g'(x). В первом случае ===g()-g(), а во втором случае =g()-g(). Следовательно, ==. В итоге получаем 2M. По 3-ему условию теоремы . Поэтому для следует, что <2M*()=, т.е. ф-ция fg на промежутке [a;) удовлетворяет условию Коши и поэтому интеграл сходится.

Комментарии