33. Теорема об умножении абсолютно сходящихся рядов.

Если ряды  (1) и  (2) абсолютно сходятся, то и ряд  (3) , составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (1) и (2), абсолютно сходится, причем сумма ряда (3) равна произведению сумм рядов (1) и (2).

а) Докажем, что сходится ряд  (4). Пусть  - m-я частичная сумма ряда (4), A и B – суммы рядов  и  соответственно. Тогда , т.е. частичные суммы ряда (4) ограничены сверху и по теореме из пункта 29 ряд (4) сходится.

б) Докажем, что , где τ, S, σ – суммы рядов (3), (1) и (2) соответственно. Заметим, что все члены ряда (3) содержатся в следующей таблице:

Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, указанные в таблице. В этом случае получается ряд +(++++… (5), образованный из всевозможных попарных произведений членов рядов (1) и (2), т.е. ряд вида (3)

По доказанному выше всякий ряд вида (3) и, в частности, ряд (5) абсолютно сходится и, значит, сходится, а сумма ряда (3) не зависит от порядка расположения его членов. Поэтому ряд (5) сходится, а его сумма равна τ.

Пусть - n-е частичные суммы рядов (1), (2) и (5) соответственно, тогда . Так как  при n, то . C другой стороны, {подпоследовательность сходящейся к числу  последовательности , и и поэтому  при n. Отсюда следует .•