36. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей. Критерий Коши равномерной сходимости.

Последовательность функций  называется равномерно сходящейся на множестве E к функции f(x), если  (1). В этом определении существенно, что номер  не зависит от x. Если справедливо утверждение (1), то пишут

Теорема 1. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности.

Для того, чтобы последовательность функций  сходилась равномерно на множестве E, необходимо и достаточно , чтобы выполнялось условие Коши

  (2)

Необходимость. Пусть . Тогда по определению равномерной сходимости  (3)

В частности, (3) выполняется при k=n, если n≥, и при k=n+p для pN, т.е. |, , откуда следует, что |-- +, т.е выполняется условие (2)

Достаточность.  Заметим, что числовая последовательность , где  – фиксированная точка множества, удовлетворяет условию Коши (3) и в силу критерия Коши для числовой последовательности существует конечный  Так как предел (4) существует для каждого  , то на множестве E определена функция (обозначим ее f(x)), которая является предельной функцией для последовательности на множестве E.

Запишем условие Коши (2) в виде  (5)

Переходя в неравенстве (5) к пределу при p (при каждом фиксированном nи фиксированном  и учитывая, что существует  получаем неравенство справедливое при всех  и для всех xE. Это означает, что •

Пусть функции , определены на множестве E. Обозначим .

Ряд называется равномерно сходящимся на множестве E, если на этом множестве определена функция S(x) такая, что   

Теорема 2. Критерий Коши равномерной сходимости ряда.

Для того, чтобы ряд (6) равномерно сходился на множестве E, необходимо и достаточно, чтобывыполнялось условие Коши, т.е.  (7)

По определению равномерная сходимость ряда (6) на множестве E означает равномерную сходимость последовательности { на E.

Согласно теореме 1  тогда и только тогда, когда  (8). Так как =, то условие (8) равносильно условию (7).•