№ 46 Разложение в степенной ряд ln(1+x).

Пусть f(x)=ln(1+x). Тогда

(21)

откуда находим

(22)

○ Оценим остаточный член,при пользуясь формулой (t)dt (9)(остаточный член ф-лы Тейлора для функции f в точке в интегральной форме) .Преобразуем эту формулу ,полагая .Тогда ,и формула (9) примет вид
(23)

Если f(x)=ln(1+x) ,то по формуле (23) , используя равенство (21),получаем :

(24)

Пусть . Тогда справедливы неравенства

(25)

(26)

так как.Отсюда следует ,что при любом выполняется неравенство

(27)

Используя неравенство (27), из формулы (24) получаем следующую оценку остаточного члена :

откуда следует ,что при , если |x|<1.

Пусть x=1 . Тогда , , , так как

Поэтому из формулы (24) следует ,что , откуда плучаем при .

Итак ,если , то остаточный член для функции f(x)=ln(1+x) стремится к 0 , при , т. е. ряд Маклорена сходится к f(x).●

Из формулы (ряд Маклорена) и (22) , получаем разложение функции

ln(1+x) в ряд Маклорена :

(28) радиус сходимости которого R=1.

Формула (28) справедлива и при x=1 , и поэтому

=1–

Заменяя в формуле (28) x на (–x) , получаем

(29).

.

Комментарии