Двухпроводная линия как пример неквазистационарной цепи. Электромагнитная волна в двухпроводной линии. Скорость волны. Волновое сопротивление

Два длинных провода, связь которых с генератором может быть емкостной (каждый провод

к клемме через конденсатор) или индуктивной (генератор замкнут на катушку, связанную с другой катушкой, которая замыкает два провода). Расстояние между проводами существенно меньше длины волны, длина проводов - больше длины волны. Получаем неквазистационарную цепь, потом что ток в разных местах одного и того же провода будет разный.

q(x) - линейная плотность электрического заряда, V(x) - напряжение между проводами на каком-то расстоянии от генератора.

Есть контур ADCB, AD на одном проводе, BC на другом. Длина отрезка dx. За время dt через конец A внутрь рассматриваемого участка втекает заряд I(x)dt, а через конец D вытекает заряд I(x + dx)dt. Избыток входящего электричества над выходящим составит - delta I/delta t dx dt

q'dx dt - та же величина, представленная по другому (не забываем, что q - линейная

плотность).

q' = - delta I/delta x

Применим теперь к контуру ADCB уравнение sumo E dl = -1/c Ф' dx, sumo(DC) E dl = V(x + dx)

sumo (BA) E dl = -V(x)

sumo(DC + BA) E dl = delta V/delta x dx sumo (AD + CB) E dl = RI dx

Rdx - суммарное сопротивление элементов проводов AD и CB. delta V/delta x + RI = -1/c Ф

В дальнейшем будем полагать сопротивление равным нулю.

Используем условие квазистационарности по отношению к поперечным размерам линии.

C и L - ёмкость и индуктивность единицы длины линии. q = CV, Ф = LI - определение.

delta I/delta x = -C delta V/delta t delta V/delta x = - L/c^2 delta I/delta t

Формально эти уравнения тождественны волновым уравнениям (с точностью до переменных... похожи они, в общем), поэтому приходим к выводу, что ток и напряжение распространяются вдоль проводов в виде волны со скоростью v = c/sqrt(LC)

В бегущей волне напряжение и ток связаны соотношением

V = +- WI

W - волновое сопротивление

W = 1/c sqrt(L/C)

Для тонких цилиндрических проводов радиуса a

L = 2m ln(d/a) C = e/2ln(d/a)

d - расстояние между проводами. v = c/sqrt(em)

скорость распространения совпадает со скоростью распространения волн в свободном пространстве.

Комментарии