8. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках (интегральная и дифференциальная формы). Граничные условия на границе раздела двух диэлектриков.

Влияние диэлектрика на электрическое поле сводится к действию поляризационных зарядов. Поэтому к диэлектрикам можно применить соотношение , добавив при этом к свободным зарядам q поляризационные заряды q_пол, и подставив q_пол из формулы для объемных поляризационных зарядов, ограниченных замкнутой поверхностью S: . Получим:. Введя новый вектор, называемый вектор электрического смещения(1), имеем теорему Гаусса для электрического поля в диэлектрике, или(2) . Подставляя (1) в (2), и имея аналогичное равенство, получаем

Граничные условия

Пусть есть заряженная поверхность с плотностью зарядов σ. Возьмем бесконечно малый цилиндр, с основаниями по разные стороны заряженной поверхности. Высота цилиндра пусть будет бесконечно малой по сравнению с его площадью ΔS. Внутри цилиндра находится заряд σΔS. Сумма потоков векторачерез основания будет , поток через боковую поверхность пренебрежимо мал. По теореме Гаусса, это равно 4πσΔS. Отсюда . Видим, если на границе нет свободных зарядов, то D_1n=D_2n .

Для вектораостаются непрерывными тангенциальные составляющие. Доказательство: можно представить, что полное поле в любой точке складывается из поля, создаваемого зарядами самой площадки Е_внутр, и поля, создаваемого всеми остальными зарядами Е_внеш. Сама же площадка на близких расстояниях ведет себя как бесконечная заряженная плоскость. Создаваемое ею поле Е_внутр нормально к площадке и равно 2πσ. Но направления этого поля по разные стороны противоположны, и дают в сумме 4πσ. Значит, скачок претерпевает только внутреннее поле, а внешнее меняется непрерывно. А так как внутреннее поле не имеет тангенциальной составляющей, то тангенциальная составляющая полного поля меняется также непрерывно: E_1t=E_2t .

Комментарии