Мера Жордана

Определение. Клеткой в пр-ве наз-ся замкнутый прямоугольный параллелепипед П={x=(,...,): , k=1,...,n} где числа , (), k=1,...,n задают клетку П. Мерой клетки П наз-ся число (П)=(-)...(-). Пустое мн-во по опр-ю считаем клеточным, а его меру — нулевой.

Определение. Мн-во Аназ-ся клеточным, если оно представимо в виде объединения конечного набора клеток , i=1,...,I, не имеющих общих внутренних точек: А=, (int )(int )= при is. Мерой клеточного множества А наз-ся сумма мер составляющих его клеток: (А)=.

Нижняя мера Жордана мн-ва – это точная верхняя грань мер клеточных мн-ств А, содержащихся в Е., Верхяя мера Жордана мн-ва – это точная нижняя грань мер клеточных мн-ств В, в которых содержится Е : . Множество называется ИЗМЕРИМЫМ ПО ЖОРДАНУ, если . Число называется МЕРОЙ МН-ВА Е.

ЛЕММА. Множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда для любого числа найдутся клеточные мн-ва и такие, что и .

Комментарии