Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть есть простая поверхность, заданная уравнениями (1) или (*). Рассмотрим точку А(u,v) на поверхности , где (u,v) – внтуренняя точка области . Построим координатные линии u = const и v = const, проходящие через точку А(u,v). Векторы и будут касательными к соответствующим координатным линиям.

Векторы - векторы нормали к поверхности в точке А(u,v).

Плоскость, проходящая через точку А(u,v) поверхности и ортогональная вектору N, называется касательной плоскостью к поверхности в точке А.

Если (Х,Y,Z) – декартовы координаты точки касательной плоскости и R =Xi+Yj+Zk, то векторы R-r(u,v), , параллельны касательной плоскости => их смешанное произведение равно нулю.

=>Векторное уравнение касательной плоскости:

(R-r(u,v), , ) = 0.

Уравнение касательной плоскости в координатах:

Нормаль к поверхности в точке А(u,v) – прямая, проходящая через точку А и параллельная вектору нормали в точке А.

Векторное уравнение:

,

В декартовых координатах уравнение нормали:

Комментарии