Несколько ответов к вопросам первого задания осеннего семестра.

1.      Материальная точка – геометрическая точка, которой поставлено в соответствие положительное число  - масса.

2.      Системой отсчета (баз добавления слова геометрическая) в механике называется геометрическая система отсчета (геометрическая твердая среда), дополненная «часами», находящимися в каждой точке рассматриваемой геометрической твердой среды и синхронизированными по времени (время течет независимо  от положения часов). Геометрическая твердая среда – континуальное множество геометрических точек, расстояния между которыми фиксированы.(А12)

3.      Траектория – кривая, по которой движется точка [тело]   (А15)

4.      Скорость точки  

5.      Ускорение  

6.      Способы задания движения: Координатный способ предусматривает введение обобщенных координат. Это любые три независимые величины, однозначно задающие положение точки в пространстве. Обознаются:  Eстественный способ задания движения материальной точки  Движение рассматривается вдоль конкретной заданной траектории, а в качестве параметра выступает длина дуги траектории . Маркеев выделяет еще векторный способ (задание радиус-вектора, но по сути это то, же, что и задание координат)

7.      ↑↑↑

8.      декартовы координаты  (см. рис. 1).Эта система ортогональных осей неподвижна. С осями  связываются орты , соответственно

9.      Цилиндрические координаты: x = rcos φ, y = rsin φ, z=z. Полярные координаты – частный случай цилиндрических при  z=const

10.                              В полярных координатах  () для компонент скоростей вдоль координатных линий  и  вводятся, соответственно, термины: - радиальная скорость,  - трансверсальная скорость.  - радиальное ускорение, - трансверсальное ускорение.

11.  Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам: 

12.                              Это любые три независимые величины, однозначно задающие положение точки в пространстве. Обознаются: .

13.                              Наряду с обобщенными координатами вводятся координатные линии – линии, которые описывает точка при изменении каждой из координат при фиксированных других. Выделяется произвольный момент времени . Фиксируется , т.е. . Эта даст координатную линию . Аналогично:  даст координатную линию , и  даст координатную линию

14.                               По правилам взятия производной сложной функции        Орты:  . Вводят величины  - коэффициенты Ламе.  С их помощью выражение для скорости принимает вид: .

15.                               Вводятся орты  (локальный базис) - единичные векторы по касательным к координатным линиям . Каждому моменту времени, в общем, соответствует своя конфигурация ортов. Они могут быть неортогональны.

16.                                

17.                               Для нахождения коэффициентов Ламе можно использовать формулу,  где  - элемент дуги вдоль соответствующей координатной линии .  В декартовых координатах, например, все коэффициенты Ламе равны единице, и

18.                               Оси криволинейных координат не всегда ортогональны, поэтому стараются использовать ортогональные, для которых: 

19.                                                                                                    Цилиндрические координаты:                                                                                                                                                                    Рассмотрим сферические координаты. Пользуясь формулой , находим . Тогда  ,

20.                              Естественный способ задания движения. Движение рассматривается вдоль конкретной заданной траектории, а в качестве параметра выступает длина дуги траектории . Вводится естественный трехгранник Дарбу, состоящий из ортогональных ортов касательной, нормали и бинормали к данной точке траектории (). Скорость и ускорение:   , где где  - радиус кривизны траектории.

21.                              Касательный орт направлен по касательной к траектории в данной точке, нормаль к центру кривизны траектории, а бинормаль строится как векторное произведение . [Центр кривизны это центр соприкасающейся окружности (окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность испытывают касание, порядок которого не ниже 2.) с радиусом 1/k. (W)]

22.                               Естественный трехгранник Дарбу состоит из ортогональных ортов касательной, нормали и бинормали к данной точке траектории

23.   См. п. 20  ↑↑↑

24.                               См. п. 20  ↑↑↑

25.                                                           

26.                               Твердое тело – такая совокупность материальных точек, что расстояние между любыми двумя неизменно. С твердым телом жестко связана другая система координат , с началом в точке  твердого тела и движущаяся относительно неподвижного пространства.

27.                               Закон распределения скоростей в твердом теле: .                                                         Закон распределения ускорений в твердом теле

28.                               Вектор угловой скорости  вводится так, что : .Угловое ускорение .

29.   Мгновенная ось вращения – ось, проходящая через вектор  (геометрическое место точек с нулевыми мгновенными скоростями).

30.                               , здесь  - вращательное ускорение,  - осестремительное (всегда направлено к мгновенной оси вращения) [формула Ривальса – то же для любых 2х точек твердого тела]

31.                               Когда мгновенная ось неподвижна (), тогда вращательное ускорение  совпадает с касательным  и осестремительное ускорение  совпадает с нормальным . В общем случае (), данное соотношение не выполняется, и кроме того,  и  не ортогональны.

32.                              Плоскопараллельное движение - это движение твердого тела, при котором движения всех его точек лежат в плоскостях параллельных некоторой плоскости. Для него   

33.                               Кривошип — звено кривошипного механизма, совершающее цикловое вращательное движение на полный оборот вокруг неподвижной оси. (W)

34.                               Шатун - подвижная деталь механизма, соединяющая поступательно перемещающуюся деталь с вращающимся валом. Крейцкопф (ползун) - деталь кривошипно-ползунного механизма, совершающая возвратно-поступательное движение по неподвижным направляющим. Подшипник — изделие, являющееся частью опоры, которое поддерживает вал, ось или иную конструкцию, фиксирует положение в пространстве, обеспечивает вращение, качение или линейное перемещение с наименьшим сопротивлением, воспринимает и передаёт нагрузку на другие части конструкции. Подпятник  - опорная деталь, поддерживающая вертикальный вал и воспринимающая на себя всю действующую вдоль оси вала нагрузку (упорный подшипник) Шарнир - подвижное соединение деталей, конструкций, допускающее вращение только вокруг общей оси или точки. (W)

35.                               Движение тела с одной неподвижной точкой:   , а  - инвариант относительно выбора полюса

36.                               . Угловая скорость вращения мгновенной оси – угловая скорость, с которой вращается мгновенная ось вращения. (КЭП). Мы использовали ее в задаче про конус, который катался по плоскости и угловая скорость движения его точек складывалась из угловой скорости движения его мгновенной оси и угловой скорости движения точек относительно этой самой оси.

37.  В кинематике любое движение можно свести к сложению абсолютного и относительного движений. Движение подвижной оси относительно неподвижной – переносное движение, а вот уже движение относительно подвижной – относительное движение.

38.  Абсолютное движение ( [=absolute]) – движение точки относительно неподвижной среды, Относительное движение ([=relative]) – движение точки относительно подвижной среды, Переносное движение () – движение подвижной среды относительно неподвижной среды (или движение точки за счет подвижной среды, как если бы точка была «приклеена»)

39.  Скорости и ускорения обозначенных движений можно складывать:

40.   Формула Кориолиса: , где  - ускорение Кориолиса.

41.  Если твердое тело движется относительно некоторой подвижной среды и вместе с ней движется относительно другой, принятой за неподвижную, то иногда оказывается удобным при определении скоростей и ускорений точек тела пользоваться формулами: где

42.  Метод Виллиса позволяет определить угловые скорости в плоских механизмах, наподобие, кривошипа. Переходим в систему отсчета, неизменно связанную с кривошипом. В этой системе отсчета кривошип неподвижен, а абсолютные угловые скорости всех колес изменятся на величину . Затем записываются условия равенства скоростей точек касания соседних колес в системе, связанной с кривошипом и, собственно, находятся угловые скорости.

43.   Поступательная СК – СК, движущаяся поступательно относительно условно неподвижной. В таких системах кориолисово ускорение отсутствует. Вращательная СК, соответственно, совершает вращательное движение относительно условно неподвижной (предположение, в учебниках такого нет) .

44.  Величина и линия действия – скользящий вектор. Две системы скользящих векторов называются эквивалентными, если одна из другой получается с помощью элементарных операций: добавление элементарного векторного нуля, а также сложение пучка векторов и разложение векторов в пучок. Также следует сказать, что имеется два инварианта системы векторов относительно выбора полюса: главный вектор и проекция главного момента на главный вектор.

45.  Критерий эквивалентности – две системы скользящих векторов эквивалентны в том и только в том случае, если равны их главные векторы и главные моменты относительно произвольно выбранного полюса.

46.  Основные характеристики системы векторов – главный вектор и главный момент.  - главный вектор,  - главный момент, момент винта – проекция клавного момента на главный вектор (является инвариантом):

47.                                                                                                                                         Найдется такая точка , что  Предположим, есть еще такая точка :  Тогда  должна лежать на параллели  и проходить через . На линии, проходящей через  и , главный момент будет иметь минимальное значение. При этом главный момент равен  , и называется моментом винта.Другими словами, приводя систему векторов к виду, при котором главный вектор и главный момент параллельны, мы приводим систему векторов к винту.

48.  Приведение системы к винту и приведение системы векторов к простейшему виду это одно и то же.

49.  Уравнение оси минимальных моментов:

50.  В кинематике  соответствует , а  соответствует .

51.  Постулаты динамики… Первый закон Ньютона: «Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго». Второй закон Ньютона: «В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе». Третий закон Ньютона: «Материальные точки попарно действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению».(W). Принцип независимости действия сил: «Результат действия (сообщение уснорения, обратно пропорционального массе) силы не зависит от остальных действующих сил».  Принцип освобождаемости от связей: «Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить их связи и заменить их реакциями». / Тела и поверхности, ограничивающие движение, называются связями, а силы – реакциями связей/

52.  Механической связью называют ограничения, накладываемые на координаты и скорости механической системы, которые должны выполняться на любом её движении.(W)

53.  Основные динамические величины: импульс , момент импульса  и кинетическая энергия .   

54.  Понятия инерциальной и неинерциальной систем отсчета определяется первым законом Ньютона.

55.  Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы точек (твердого тела) равна кинетической энергии движения центра масс системы с мысленно сосредоточенной в нем массой всех точек (твердого тела), плюс кинетическая энергия относительного движения относительно системы отсчета с началом в центре масс и движущейся поступательно.

56.  Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: 

57.  Законы изменения основных динамических величин:   

58.  Если поле описывается одной функцией, то это поле будет потенциальным, при условии, что для :  - дифференциальный критерий потенциальности поля.

59.  Элементарная работа:

60.  Элементарная работа потенциальных сил:

61.  ↑↑↑

62.  Качение без проскальзывания – качение, при котором скорость точки соприкосновения тела с поверхностью равна скорости поверхности.

63.  Из формулы Кориолиса можно получить закон изменения импульса в неинерциальной системе отсчета , где вводятся переносная и кориолисова силы инерции:      

64.  Законы изменения основных динамических величин в НСО:   (кориолисова сила работы не совершает)

65.  Условия относительного равновесия – условия равновесия в неинерциальной системе отсчета – изменение основных динамических величин равно нулю (см. уравнения выше)

66.   Нахождение точки приложения переносной силы инерции однородного вращающегося стержня.  .   .  Если  - расстояние от  до элемента , то , а . Итак,  .  Можно было  найти это расстояния из соображений того, что в треугольнике центр тяжести находится на медиане расстоянии 2/3 от вершины.  

67.  Центральные силы

68.  Закон площадей (справедлив для любого центрального поля)

69.  Используя закон площадей можно получить формулу Бине:  Если записать второй закон Ньютона  и немного его преобразовать, можно получить уравнение Бине: . Есть подозрение, что переменные Бине это 1/r и φ. По крайней мере,других переменных в формулах Бине нет.

70.  Вторая формула Бине:  В поле всемирного тяготения , т.е.  , где  - решение коническое сечение - эллипс, в другой форме решение пишут так:

71.  Задача двух тел – изучение движения двух материальных точек под действием сил их взаимного притяжения или отталкивания. В ходе решения задачи вводится понятие приведенной массы и устанавливается, что в этой задаче могут происходить только плоское движение. (А99)

72.  Уравнение конического сечения в полярных координатах, связанных с фокусом эллипса и направлением на перигей:  (полярная ось совпадает с направлением на перигей)

73.  Связь фокального параметра и эксцентриситета с геометрическими характеристиками эллипса:

74.  Связь фокального параметра и эксцентриситета с динамическими величинами в центральном поле с потенциальной энергией : ,

75.  Связь значения эксцентриситета с формой траектории:  => эллипс    ( => окружность радиуса ),  => парабола,  => гипербола

76.   - финитное движение (спутники, планеты),  - инфинитное движение. При инфинитном движении тело может удалить сколь угодно далеко, при финитном – нет. («финитное»=ограниченное) (W)

77.  Первая космическая скорость(7.9 км/с) — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите. Вторая космическая скорость (11.2 км/с) (параболическая скорость, скорость освобождения, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела.(W)

78.  Законы Кеплера для планет: I «Каждая из планет солнечной системы совершает плоское движение с постоянной секторальной скоростью».  II «Траекториями всех планет служат эллипсы, в общем фокусе которых расположено Солнце». III «Отношение квадратов времен  обращения планет к кубам больших полуосей их эллиптических траекторий одинаково для всех планет: »

79.   Рассеивание частиц, которое производил Резерфорд называют Кулоновским рассеиванием потому, что оно базируется исключительно на силах электростатического взаимодействия, и минимальное расстояние между частицами зависит только от потенциала поля. Ньютоновское поле – поле гравитационных сил, минимальное расстояние зависит от размеров частиц. Прицельное расстояние (прицельный параметр - параметр удара), в теории рассеяния частиц расстояние между рассеивающим силовым центром и линией первоначального движения рассеиваемой частицы. Формула Резерфорда - это формула для дифференциального эффективного поперечного сечения рассеяния нерелятивистских заряженных частиц в телесный угол Ω, в кулоновском поле другой неподвижной заряженной частицы или ядра (мишени). В системе центра инерции записывается следующим образом: , где Z1 и Z2 — заряды налетающей частицы и мишени, m,v — масса и скорость налетающей частицы, Θ — двумерный угол рассеяния, e — элементарный заряд, dσ — дифференциальное сечение, Ω — телесный угол(W)

80.  Законы изменения импульса и кинетического момента системы переменного состава: , где , а , где

81.  Уравнение Мещерского: , где   - скорости уходящих и приходящих масс в подвижной поступательной системе, связанной с телом.

82.  Формула Циолковского является решением уравнения Мещерского при отсутствии внешних сил, а масса в систему «не приходит»:

83.   Oz – неподвижная ось. Тогда для нее выполняется:В правой части уравнения второе слагаемое – проекция момента реактивных сил на ось Oz. Следует учитывать, что момент инерции относительно оси z – величина переменная. Это уравнение описывает вращение переменного состава вокруг неподвижной оси (М273)

84.  Кватернион (от лат. quaterni - по четыре) - обобщение понятия комплексного числа. Имеет вид: , где  - специальные единицы. . По сути представляет из себя пару скаляра и вектора. Для базисных векторов вводится операция кватернионного умножения.   Если запишем , то

85.   Свойства кватернионного умножения:  дистрибутивность ,  ассоциативность , отсутствие коммутативности в общем случае  - равенство выполняется только при коллинеарности, когда =0, но  - при циклической замене кватернионов.

86.  Сопряженный кватернион: , следует заметить, что ,  нормированный кватернион: , обратный кватернион: ,  

87.   Тригонометрическая запись кватерниона:

88.   Кватернионные уравнения можно решать переходя к тригонометрической записи кватерниона и используя формулу, аналогичной формуле Муавра , а можно – в векторной форме.

89.  Параметры Родрига-Гамильтона – компоненты кватерниона в его собственном базисе. Собственный базис кватерниона  - тот базис, поворот из которого задается этим кватернионом. Например, повороты на углы Эйлера задаются в собственном базисе: ;;  .

90.  Произвольное положение твердого тела с неподвижной точкой  относительно базиса  задается некоторым нормированным кватернионом  по формулам: . При этом каждому положению твердого тела соответствуют два значения кватерниона, отличающиеся знаком. Для точки: . Кватернионы, рассматриваемые как алгебра на R, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно 0 может быть записан в виде , где  и  — пара единичных кватернионов, при этом пара  определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары —  и . (W)

91.  Теорема Эйлера о конечном повороте. Любое положение твердого тела с неподвижной точкой может быть получено из начального положения одним поворотом вокруг некоторой оси  на некоторый угол . При этом ось  конечного поворота коллинеарна векторной части кватерниона , а угол  конечного поворота определяется формулой .

92.  В общем базисе в случае  поворотов, задаваемых кватернионами  итоговый поворот задается произведением в обратном порядке: . В собственном базисе – в прямом порядке (*- значит, что кватернионы заданы в собственном базисе):

93.  Углы Эйлера ( - угол прецессии,  - угол нутации,  - угол собственного вращения)                                                                                                           , ,  - в собственном базисе

94.  Оператор набла (Гамильтона): . Приобретает смысл в сочетании со скалярной функцией, к которой применяется. Градиент  — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой: Дивергенция – дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное: ,  . Ротор – дифференциальный оператор над векторным полем:   (W)

95.   Частная производная – производная, которая берется по определенной переменной, при взятии которой остальные переменные, от которых может зависеть функция полагаются константами.   Полная производная - производная функции по времени вдоль траектории.   (W)

96.  Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям и равный по модулю площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Справедлива формула , где