1.              В геометрии масс изучаются только инерционные характеристики и распределение масс в механической системе и твердом теле. Само движение системы материальных точек и твердого тела не исследуется.

2.               - осевой момент инерции (другие по аналогии).  - центробежный момент инерции (другие по аналогии).

3.              Момент инерции твердого тела относительно оси : , Где  - расстояние от -той точки до оси . Орт  задается направляющими косинусами: . Естественно желание записать выражение наиболее просто.  .Эта симметрическая матрица определяет тензор инерции тела. Ось называется главной, если ее центробежные моменты инерции равны нулю. Например, ось  главная, если . В главных осях : . Главные оси – это оси симметрии эллипсоида инерции. Для того чтобы построить эллипсоид инерции, возьмем на оси  точку  такую, что . Точка  все время движения будет находиться на поверхности эллипсоида инерции:

4.              ↑↑↑

5.              Задача поиска главных осей сводится к поиску условного экстремума функции методом Лагранжа:  при условии ..     . Система имеет нетривиальное решение если . Раскрывая определитель, получаем полином третьей степени. Этот полином имеет три действительных корня, т.к. тензор  симметрический с действительными компонентами. Значения  совпадают с главными моментами инерции в выбранной точке . Далее находим  для , что дает направление главной оси в .Направления главных осей можно также найти из условия коллинеарности вектора нормали к поверхности эллипсоида инерции с радиусом-вектором  точки эллипсоида, лежащей на главной оси: .

6.              Для точек пластины пренебрежимо малой толщины моменты инерции связаны равенством , где ось  перпендикулярна плоскости пластины (для пространственной фигуры сумма моментов инерции относительно двух осей инерции всегда больше момента инерции относительно третьей,

7.               - разложение угловой скорости по базису главных осей. , а значит, , где - осевые моменты инерции. , когда  одной из главных осей. . Либо по теореме Кенига: .

8.              , ,   - относительная скорость конца вектора кинетического момента, называют локальной производной. .  - - векторная запись динамических уравнений Эйлера.  - Динамические уравнения Эйлера. Записываются в главных осях, реализуется движение относительно неподвижных осей

9.                 - относительная скорость конца вектора кинетического момента, называют локальной производной (выражает изменение во времени вектора и в фиксированной точке пространства)

10.          Динамические реакции – это добавки к статическим, возникшие вследствие вращения.

11.          Чтобы система сил была эквивалентна нулю, нужно, чтобы центр масс  был на оси вращения () и ось вращения была главной центральной осью (). Такую ось, где отсутствуют динамические реакции, называют осью свободного вращения

12.           Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении матрицы поворота на вектор длина вектора сохраняется, при этом определитель матрицы поворота положителен (и равен  1).  Вращение вокруг оси x:       Вращение вокруг оси y:  . Вращение вокруг оси z:    Последовательные повороты около осей  Z, X’, Z’’ на угол прецессии (α), угол нутации (β) и на угол  собственного вращения (γ) приводят к следующему выражению для матрицы поворота:(W)           На катринке  - угол прецессии,  - угол нутации,  - угол собственного вращения.                                   

13.          . Ось  выбрана так, что. Тогда система уравнений Эйлера:

14.          Эта система полностью описывает движение твердого тела с неподвижной точкой. Она может быть решена в квадратурах[1] для любого твердого тела при любых начальных условиях только в трех случаях, названными случаями Эйлера (,т.е. , то есть движение происходит по инерции), Лагранжа (это движение динамически симметричного твердого тела (А=В) с одной неподвижной точкой в поле тяжести, причем центр масс не совпадает с неподвижной точкой, центр тяжести и неподвижная точка лежат на оси симметрии, ) и Ковалевской (более жесткие ограничения на свойства симметрии: А=В=2С, внешней силой также является вес, но центр тяжести может быть расположен где угодно в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки) (А199)

15.           

16.          В случае Эйлера, когда тело обладает динамической симметрией , тело будет совершать регулярную прецессию(такое движение, при котором тело вращается относительно оси динамической симметрии (собственное вращение), которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси (прецессионное вращение). Угол между осью собственного вращения и осью прецессии (угол нутации) сохраняется постоянным, также как и угловые скорости прецессии и собственного вращения.  Динамическая симметрия тела – необходимое и достаточное условие для регулярной прецессии в случае Эйлера.

17.           В случае Эйлера, когда динамической симметрии нет, возможна геометрическая интерпретация движения – интерпретация Пуансо. Будем для определенности считать, что . Представим тело эллипсоидом инерции в неподвижной точке  (см. рис.)                                                                                                         Уравнение эллипсоида в главных осях:  Геометрическая интерпретация Пуансо звучит и изображается так (см. рис.). В начале движения образуется плоскость, касательная к эллипсоиду инерции в точке пересечения эллипсоида начальной угловой скоростью. В дальнейшем плоскость занимает неизменное положение, а эллипсоид инерции с неподвижным центром  катается по ней без проскальзывания. О других деталях качения сказать понятно не можем.

18.           Речь о вынужденной регулярной прецессии заводится в случае Лагранжа.  Центр масс, оставаясь на сфере радиуса , будет двигаться между двумя параллелями, соответствующими  и  - нутационное движение твердого тела. Данное движение имеет колебательный характер. Траектория центра масс имеет вид сферической циклоиды. Время движения от одной параллели к другой остается постоянным . Когда , будет вынужденная регулярная прецессия.  - точная формула гироскопии, определяющая момент сил, вызывающий вынужденную регулярную прецессию

19.           Формула для момента сил, который поддерживает регулярную прецессию с заданными параметрами для тела, обладающего динамической симметрией :

20.          Случай Лагранжа - это движение динамически симметричного твердого тела с одной неподвижной точкой в поле тяжести, причем центр масс не совпадает с неподвижной точкой. Подробнее ↓↓↓

21.          Центр масс, оставаясь на сфере радиуса , будет двигаться между двумя параллелями, соответствующими  и  - нутационное движение твердого тела. Данное движение имеет колебательный характер. Траектория центра масс имеет вид сферической циклоиды. Время движения от одной параллели к другой остается постоянным . Если мы нашли , то  и  находим из условия , т.е. из уравнения . Центр масс на поверхности сферы радиуса .                . При дополнительном условии:  это равенство также и достаточное условие регулярной прецессии. При  регулярной прецессии быть не может

22.           Качественное исследование движения в случае Лагранжа может быть проведено с помощью интегралов[2] движения. . Т.к. движение реализуется в поле тяжести, то имеет место интеграл энергии: , или , где  - расстояние от центра тяжести до неподвижной точки. Поскольку , то  Третий интеграл получается из третьего ДУЭ:

23.          Интеграл полной энергии: , или , где  - расстояние от центра тяжести до неподвижной точки. Поскольку , то . Интеграл проекции угловой скорости на ось динамической симметрии получается из третьего ДУЭ:

24.           Прецессия — явление, при котором момент импульса тела меняет своё направление в пространстве под действием момента внешней силы. Мы рассматриваем ее как явление, при котором под действием силы ось симметрии начинает перемещаться перпендикулярно направлению действия силы. Вынужденная прецессия происходит под действием внешних сил, свободная, соответственно, наоборот.(W) Выясним, что называют быстрой и медленной прецессией.  Для этого рассмотрим регулярную прецессию. , но , если x<<1.                                                                                                  Первый случай соответствует медленной прецессии и не зависит от угла нутации. Второй случай – быстрая прецессия, имеет зависимость от  и другое направление вращения

25.          Если (много больше), то можно применить элементарную теорию гироскопа. И точная формула гироскопии имеет приближенную форму, простую:     В силу , можно считать, что эти векторы сонаправлены по оси симметрии.

26.           По поведению  можем судить о поведении оси симметрии.  или . Последнюю формулу называют формулой Резаля для элементарного гироскопа. Ее можно интерпретировать следующим образом:  пусть  - точка оси, совпадающая с концом вектора , тогда ее скорость равна . Таким образом, скорость конца вектора кинетического момента, а значит, и скорость точки  оси гироскопа, равна по величине и направлению главному моменту внешних сил относительно неподвижной точки. Можно отметить следующие гироскопические эффекты: 1. Если на ось гироскопа начнет действовать сила, то ось отклонится не в направлении действия силы, а в направлении момента  этой силы относительно неподвижной точки. 2. Безынерционность движения оси гироскопа: с прекращением действия силы,  этой силы мгновенно обращается в нуль. Следовательно, , т.е. с прекращением действия силы движение оси гироскопа прекращается мгновенно.

27.                                   

28.           Уравнения Лагранжа содержат n+1 функций – это Q_i, где i=1..n и кинетическая энергия Т. Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа, нужно выразить эти функции через координаты, производные от них и время, Таким образом, уравнения выписываются абсолютно одинаково для любой системы координат, и различие в выборе координат сказывается лишь на виде n+1 функций, входящих в эти уравнения. Поэтому можно говорить, что уравнения Лагранжа ковариантны относитльно любого точечного преобразования координат. (А133)

29.           , где  - кинетическая энергия.

30.           Вообще говоря, обобщенные координаты - это любые три независимые величины, однозначно задающие положение точки в пространстве. Обознаются:  .В уравнениях Лагранжа вводятся переменные Лагранжа – совокупность переменных: время , обобщенные координаты , обобщенные скорости . Найдя эти самые координаты мы можем говорить о том, что нам известно, какое место в пространстве занимает точка. Стационарно задане системы – системы, для которых

31.           Чтобы найти кинетическую энергию в обобщенных координат, надо массу домножить на квадрат скорости, который можно получить из известного нам выражения Е сли у тела есть неподвижная точка ,то , иначе можно представить кинетическую энергию по теореме Кенига и прибавить к этому выражению кинетическую энергию центра масс. Можно записать, что

32.           В правой части уравнений Лагранжа находятся так называемые обобщенные силы. Их можно записать так: , где  - работа на виртуальном перемещении. Во многих задачах силы являются потенциальными:  (градиент по ). Тогда . Перенеся  из правой части лагранжевой системы в левую, можно ввести функцию  Лагранжа  и записать уравнения Лагранжа через нее: . Если все силы потенциальные, то удобно записать

33.           - работа на виртуальном перемещении. Чтобы найти виртуальную работу, нужно задать приращение  и посмотреть приращение системы при , при замороженном времени или, как говорят, при замороженной связи. Виртуальное перемещение - это мысленное перемещение, которое допускают замороженные связи.  Возможные перемещения:  Виртуальные перемещения:

34.           Механическая связь – это ограничения, накладываемые на движение механической системы вследствие распределения в пространстве материи (тел и поверхностей). Математическая запись механической связи для  точек выглядит так:  (*).         Связи называются удерживающими (двусторонними), если условия (*) имеют вид равенств () в отличие от неудерживающих (односторонних, освобождающих) ().Если уравнение связи (*) не содержит времени , связь называется стационарной (склерономной), в противном случае нестационарной (реономной). Связи называются конечными (голономными, геометрическими), если в уравнения (*) не входят производные , и дифференциальными (кинематическими), если входят. Существует промежуточный тип связей – дифференциальные интегрируемые (полуголономные), - уравнения которых есть результат взятия полной производной по времени  от конечной связи. Типичный пример – качение без проскальзывания: . Возможные перемещения:  Виртуальные перемещения: . Числом степеней свободы голономной системы называют число независимых координат, определяющих каждую точку системы однозначно. Уравнения Лагранжа применяются, например, для полного описания поведения голономных систем с идеальными связями.

35.          Идеальные связи – механические связи, виртуальная работа реакций которых равна нулю. Эквивалентное условие – обобщенная сила, соответствующая реакции связи, равна нулю: . Эквивалентность является следствием независимости обобщенных координат:

36.           Уравнения Лагранжа – дифференциальные уравнения движения, разрешимые относительно старших производных, в которых число неизвестных совпадает с числом уравнений.

37.           В стационарном случае кинетическая энергия является однородной квадратичной формой относительно скоростей с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат. (см. А142)

38.                                                                                  

39.                                                                                                                                                                      

40.           За обобщенные координаты берутся координаты в неинерциальной СО. Следует добавить силы инерции, как переносные, так и кориолисовы - , т.к. виртуальные перемещения не совпадают с действительными. Можно взять за  обобщенные координаты в инерциальной СО, при этом не будет сил инерции и кинетическую энергию следует считать в абсолютной СО