Если λ₀ - корень кратности k характеристического уравнения L(λ) = 0, то каждая из функций

является решением линеного однородного уравнения

a)Пусть λ₀ = 0

Тогда L(λ) = λ^k(λ^{n − k} + a₁λ^{n − k − 1} + ... + a_{n − k})

и следовательно

Нетрудно проверить, что функции 1,x,x²,...,x^{k − 1} являются решениями L(D)y = 0

б)Пусть .

Сделаем замену . По формуле сдвига

Характеристический многочлен L(λ + λ₀) имеет корень λ = 0 кратности k и аналогично a) имеет решение 1,x,x²,...,x^{k − 1}. Из замены получаем утверждение теоремы.

Комментарии