Сказать "Спасибо"

11)Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость собственных интегралов, зависящих от параметра.

Непрерывность Теорема 1

Пусть функция $f$ непрерывна на $[a,b]\times[c,d]$ . Тогда интеграл $I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx$ непрерывен $[c, d]$ .

Доказательство Пусть $y \in [c,d], y+\Delta y\in [c,d]$ . Тогда

$|I(y+\Delta y)-I(y)|\leqslant\int_{a}^{b}\left|f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\right|dx\leqslant (b-a)\omega(|\Delta y|,f),$

где $ω(Δ, f)$ - модуль непрерывности функции $f$ . В силу непрерывности $f$ , а значит, и равномерной непрерывности функции $f$ на $[a,b]\times[c,d]$ , $\omega(\Delta, f) \to 0$ при $\Delta \to 0$ , откуда и следует утверждение теоремы.

Непрерывность Теорема 2

Пусть функции $ψ,φ$ непрерывны на $[c, d]$ , $\phi(y)\leqslant \psi(y)$ при $y \in [c,d]$ , $\overline{G}=\{(x,y):\phi(y)\leqslant x \leqslant\psi(y), c\leqslant y \leqslant d\}$ . Пусть $f$ - непрерывна на $\overline{G}$ . Тогда интеграл $J(y)=\int_{\psi(y)}^{\phi(y)}f(x,y)dx$ непрерывен на $[c, d]$ .

Доказательство С помощью замены $x = φ(y) + t (ψ(y) - φ(y))$ получаем

$J(y)=\int_{0}^{1}f(\phi(y)+t(\psi(y)-\phi(y)), y)((\psi(y)-\phi(y))dt$

подинтегральная функция непрерывна на $[0,1]\times [c,d]$ . По теореме 1 интеграл $J (y)$ непрерывен на $[c, d]$

Интегрирование Теорема 3 Пусть

1).Функция $f$ интегрируема на $[a,b]\times[c,d]$ ,

2). Интеграл $I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx$ существует при каждом $y \in [c,d]$ .

3). Интеграл $\int_{c}^{d}f(x,y)dy$ существует при каждом $x \in [a,b]$ .

Тогда

$\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy$

Это теорема вытекает из теоремы о повторном интеграле.

Дифференцирование Теорема 4

Пусть $f$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ непрерывны на $[a,b]\times [c,d]$ . Тогда функция

$I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx$

дифференцируема на $[c, d]$ и

$\frac{dI(y)}{dy}=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx$

Доказательство

Пусть $y\in[c,d], y+\Delta y\in[c,d]$ . Тогда, используя формулу конечных приращений Лагранжа, имеем

$\left|\frac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}-\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx\right|\leqslant \int_{a}^{b}\left|\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}-\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right|dx$ $=\int_{a}^{b}\left|\frac{\partial}{\partial y}f(x,y+\theta\Delta y)-\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right|dx\leqslant (b-a)\omega\left(|\Delta y|,\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

где $\omega\left(\delta ,\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ - модуль непрерывности функции $\frac{\partial f}{\partial y}$ на $[a,b]\times[c,d]$ . В силу непрерывности, а значит и равномерной непрерывности $\frac{\partial f}{\partial y}$ на $[a,b]\times[c,d]$

$\omega\left(|\Delta y|,\frac{\partial f}{\partial y}\right)\to 0$ при $|\Delta y|\to 0$

Из приведенных оценок получаем теперь, что существует

$\frac{dI}{dy}:=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx$

что и требовалось доказать.

Дифференцируемость Теорема 5

Пусть $f$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ непрерывны на $[a,b]\times[c,d]$ ,

$φ,ψ$ - непрерывно дифференцируемы на $[c, d]$ , $a \leqslant \phi(y) \leqslant \psi(y) \leqslant b$ при $y \in [c,d]$ .

Тогда на отрезке $[c, d]$ существует производная

$\frac{dJ(y)}{dy}=\int_{\phi(y)}^{\psi(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx+f(\psi,x)\frac{d\psi}{dy}-f(\phi,x)\frac{d\phi}{dy}~~~~~(1)$

Доказательство

Определим на $[c,d]\times[a,b]\times[a,b]$ функцию

$F(y,u,v):=\int_{u}^{v}f(x,y)dx$

Тогда

J (y) = F (y,φ(y),ψ(y)).

Формула (1) получается, очевидно, при дифференцировании последнего равенства в соответствии с правилами дифференцирования интеграла с переменным верхним(нижним) пределом и дифференцирования сложной функции. Для обоснования последнего достаточно убедиться в непрерывности на $[c,d]\times[a,b]\times[a,b]$ производных

$F'_u(y,u,v)=-f(u,y),~~~~F'_v(y,u,v)=f(v,y)$ $F'_y(y,u,v)=\int_{u}^{v}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$

Производные $F' u, F' v$ непрерывны в силу непрерывности функции $f$ .

Производная $F' y$ , вычисленная по правилу Лейбница(теорема 4), с помощью замены переменной в интеграле записывается в виде

$F'_y(y,u,v)=\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial y}(u+(v-u)t,y)(v-u)dt:=\int_{0}^{1}h(y,u,v,t)$

По теореме о непрерывности композиции непрерывных функций подынтегральная функция $h$ непрерывна на $[c,d]\times[a,b]\times[a,b]\times[0,1]$ . Отсюда следует, что интеграл $\int_{0}^{1}h(y,u,v,t)dt$ непрерывен на $[c,d]\times[a,b]\times[a,b]$ . Последнее утверждение можно устоновить с помощью непосредственной оценки:

$\left|\int_{0}^{1}h(y+\Delta y,u +\Delta u, v+\Delta v)dt-\int_{0}^{1}h(y,u,v)dt\right|\leqslant \int_{0}^{1}\left|h(y+\Delta y,u +\Delta u, v+\Delta v)-h(y,u,v)\right|dt\leqslant \omega(\delta,h)$

где $ω(δ, h)$ - модуль непрерывности функции $h, (\Delta y)^2+(\Delta u)^2+(\Delta v)^2\leqslant \delta^2$ .

Сказать "Спасибо"

11)Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость собственных интегралов, зависящих от параметра.

Комментарии