Теорема 1
Пусть функция f абсолютно интегрируема на и f' непрерывна и абсолютно интегрируема на
. Тогда
Представим функцию f в виде
из сходимости интеграла следует существование пределов
,
. Они не могут быть отличными от нуля в силу сходимости интеграла
. C помощью интегрирования по частям получаем
.
Теорема 2
Пусть функции f непрерывна на , а функция f1 = xf(x) абсолютно интегрируема на
. Тогда
Доказательство
Дифференцируя интеграл по параметру y, получаем на основании теоремы
Заметим, что последний интеграл сходится равномерно на по признаку Вейерштрасса с мажорорантом φ(x) = | xf(x) | .