Система Orphus

Фраунгофера


Удаляясь от препятствия все дальше и дальше, мы оказываемся в дальней волновой зоне, где

p=\frac{\sqrt{\lambda z}}{b}\gg 1

Обратимся к принципу Гюйгенса-Френеля и его математической формулировке.

Можно заменить множитель 1 / R на постоянный 1 / R. Множитель наклона \cos\alpha также считаем приблизительно одинаковым (раным единице). Получаем

f(P)=\frac{1}{i\lambda R_0}\int\int f_0(\xi, \eta)e^{ikR}d\xi d\eta

Точное выражение для расстояния R от вторичного источника до точки наблюдения

R=\sqrt{z^2+(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}

Вычисляя величину R, входящую в фазовый множитель e^{ikR}, мы не можем довольствоваться грубой оценкой R=R_0: ошибка при вычислении фазы колебаний kR должна быть мала по сравнению с \pi и, следовательно, ошибка в вычислении R мала по сравнению с длиной волны \lambda.

Запишем: R=\sqrt{x^2+y^2+z^2-2x\xi-2y\eta+(\xi^2+\eta^2)}

и далее, поскольку z^2+y^2+x^2=R_0^2

R=R_0\sqrt{1-2\frac{x\xi+y\eta}{R_0^2}+\frac{\xi^2+\eta^2}{R_0^2}}\approx R_0-\frac{x\xi+y\eta}{R_0}+\frac{\xi^2+\eta^2}{2R_0}

Очевидно, что последнее слагаемое ограничено величиной:

\frac{\xi^2+\eta^2}{2R_0}\lesssim\frac{b^2}{2R_0}

Чтобы пренебреч им потребуем, чтобы выполнялось неравенство \frac{b^2}{2R_0}\ll \lambda или что то же

p=\frac{\sqrt{\lambda R_0}}{b}\gg 1

Итак получим следующее приближенное выражение для R:

R\approx R_0-\frac{x\xi+y\eta}{R_0}

и подставляя в начальное выражение

f(P)=\frac{e^{ikR_0}}{i\lambda R_0}\int\int f_0(\xi, \eta)e^{-i((kx / R_0)\xi+(ky / R_0)\eta)}d\xi d\eta

Введем обозначения kx / R_0=u, ky / R_0=v. Тогда имеем

f(P)\sim\frac{e^{ikR_0}}{i\lambda R_0}\int\int f_0(\xi, \eta)e^{-i(u\xi+v\eta)}d\xi d\eta

В одномерном случае

f(\theta)\sim \int_{-\infty}^{+\infty}f_0(\xi)e^{-ik\xi\sin(\theta)}d\xi

и для интенсивности

I(\theta)\sim\left|\int_{-\infty}^{+\infty}f_0(\xi)e^{-ik\xi\sin(\theta)}d\xi\right|^2

Система Orphus

Комментарии