Уравнение Гельмгольца.

Комплексная функция $V(\vec{r},t)=f(\vec{r})e^{-i\omega t}$ должна быть решением волнового уравнения

$\mathcal{r}^2V-\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}=0$ .

Дифференцируя $V(\vec{r},t)$ дважды по координатам получаем

$\mathcal{r}^2V=e^{-i\omega t}\mathcal{r}^2f$

Дифференцируя дважды по времени

$\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}=f(\vec{r})(-i\omega)^2e^{-i\omega t}$

подставляя выражения $\mathcal{r}^2V$ и $\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ в волновое уравнение приходим к к следующему равенству

$\mathcal{r}^2f+k^2f=0$

где $k=\frac{\omega}{v}$ -волновое число

Полученное уравнение для комплексных амплитуд называется уравнением Гельмгольца.

Сказать "Спасибо"

Уравнение Гельмгольца.