Падающая волна

$E_{1x}=a\cos(\omega t-k_y y-k_z z)$

Отраженная волна

$E_{1x}'=a\cos(\omega t+k_y y-k_z z)$

Суммарная волна над проводящей стенкой волна иммет вид:

$E_x(y,z,t)=-2a\sin(k_yy)\sin(\omega t-k_zz)$

Если на расстоянии $d$ от проводящей стенки установить вторую проводящую стенку.

Причем, если

$d=y=n\pi/k_y$ т.е. $k_y=n\pi/d~~(n=1,2,3...)$

При таком условии выполняется равенство нулю тангенциалной составляющей на границе проводящей поверхности:

$E_x(y,z,t)=2a\sin(n\pi\frac{y}{d})\sin(\omega t-k_zz)$

где

$k_z=\sqrt{k^2-\left(n\frac{\pi}{d}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^2-n^2\left(\frac{\pi}{d}\right)^2}$

Каждый тип волны, отвечающий фиксированному значению $n$ , можно рассматривать как суперпозицию плоской волны, падающей на проводящую стенку и волны, отраженной стенкой, т.е. каждый тип волны образован суммой двух плоских волн, волновые векторы которых $\vec{k}$ и $\vec{k}'$ составляют угол $\alpha_n$ с осью волновода, причем разным $n$ отвечают различные углы $\alpha$ :

$\sin\alpha_n=n\pi/(kd)=n\lambda_0/(2d)$ ,

где $\lambda_0=2\pi/k=2\pi c/\omega$ - длина волны в вакууме.

Волновые поверхности перемещаются вдоль оси волновода - оси $z$ , причем фазовая скорость может быть найдена

$\omega t-k_z z=const$ ,

откуда

$v_{\Phi}=\frac{dz}{dt}=\frac{\omega}{k_z}=\frac{\omega}{\sqrt{(\omega/c)^2-n^2(\pi/d)^2}}=\frac{c}{\sqrt{1-n^2(\lambda_0/2d)^2}}$

Расстояние между волновыми поверхностями, на которых фаза отличается на $2\pi$ - это длина волны в волноводе, равная

$\lambda=2\pi/k_z=\lambda_0/\sqrt{1-n^2(\lambda_0/2d)^2}>\lambda_0$

Длина волны в волноводе больше длины волны той же частоты в вакууме.

Для того чтобы $k_z$ было действительное число необходимо выполнение неравенства

$(\omega/c)^2 \geqslant n^2(\pi/d)^2$

Таким образом существует критическая частота $\omega_{kr}$ - минимальная частота волны, которая может распространяться бежать по волноводу. Это частота отвечает значению $n=1$ .

$\omega_{kr}=\pi c/d$

Критическому случаю отвечает угол $\sin\alpha=\lambda_{kr}/(2d)=1$ , т.е. $\alpha=\pi/2$

Такая пара волн образует стоячую волну и никуда не распространяется.

Сказать "Спасибо"

Электромагнитные волны в волноводах.

Комментарии