Пусть волна света, созданная источниками, расположенными в области $z < 0$ , достигла плоскости $z=0$ . Световое поле в этой плоскости нам известно. Пусть его комплексная амплитуда есть $f_0(x,y)=a_0(x,y)e^{i\varphi_0(x,y)}$ , где функции $a_0(x,y)$ и $\varphi_0(x,y)$ описывают распределение амплитуд и фаз колебаний в плоскости $z=0$ .

Согласно принципу Гюйгенса каждую точку $(x, y)$ плоскости $z=0$ , куда пришла волна, можно рассматривать как источник вторичной волны. То есть можно представить себе, что волна возбуждает колебания некоторого фиктивного источника, который и переизлучает вторичную волну. Френель дополнил принцип Гюйгенса, предложив рассматривать световое колебание в любой точке наблюдения $P$ в области $z > 0$ как результат интерференции этих вторичных волн.

Поясним принцип Гюйгенса-Френеля, рассмотрев задачу - дифракции на непрозрачном экране с отверстием. Маленькая площадка $d\sigma$ , расположенная в точке $(x, y)$ на открытой части волнового фронта рассматривается как источник сферической волны: $\frac{a(x,y)}{R}e^{i(kR+\varphi(x,y))}$

где $R$ -расстояние от источника до точки наблюдения $P$ .

Согласно принятым граничным условиям, на открытой части волнового фронта, т.е. в области отверстия, волна не искажается препятствием, причем работают лишь вторичные источники, находящиеся на открытой части, не затененной непрозрачным экраном.

Амплитуда $a(x, y)$ пропорциональна также размеру переизлучающей площадки $d\sigma$ . Предпологается, что амплитуда колебаний в точке наблюдения пропорциональна видимой из этой точки величине площадки $d\sigma$ , т.е. пропорциональна $d\sigma\cos\alpha$ . Итак, $a(x,y)\sim a_0(x, y)\cos\alpha d\sigma$ , а $\varphi(x,y)=\varphi_0(x,y)$ . Таким образом, вклад элемента $d\sigma$ можно записать в виде

$\frac{a_0(x,y)}{R}e^{i(kR+\varphi_0(x,y))}\cos\alpha d\sigma=f_0(x,y)\frac{e^{ikR}}{R}\cos\alpha\cdot d\sigma$ .

Полное световое колебание есть результат интерференции всех вторичных волн, т.е. волн, посылаемых всеми площадками $d\sigma$ , расположенными в области отверстия:

$f(P)=K_0\int_{S}f_0(x,y)\frac{e^{ikR}}{R}\cos\alpha\cdot d\sigma$

Для определения константы $K_0$ рассмотрим случай, когда препятствие на пути волны отсутствует $r_0 \to \infty$ . Мы получаем

$\pi\int_{0}^{\infty}exp\left(\frac{ik}{2z}\xi\right)d\xi=\lambda zi$

Учитывая, что при отсутствии препятствия $f(P)=A_0e^{ikz}$ , находим $A_0e^{ikz}=K_0(A_0e^{ikz})\lambda zi$ , откуда получаем $K_0=1/(i\lambda)$ .

Количественная формулировка принципа Гюйгенса - Френеля принимает вид

$f(P)=\frac{1}{i\lambda}\int_{S}f_0(x,y)\frac{e^{ikR}}{R}\cos\alpha\cdot d\sigma$

Сказать "Спасибо"

Принцип Гюйгенса-Френеля.

Комментарии