Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда.

Пусть $R>0$ - радиус сходимости ряда

$\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k=:~f(x),~~~~(6)$

$a_k$ - вещественные числа.

Тогда при $|x-x_0|<R$ $f$ имеет производные всех порядков, которые находятся почленным дифференцированием;

Доказательство.

Докажем утверждение, что степенные ряды, полученные почленным дифференцированием или почленным интегрированием, имеют тот же радиус сходимости $R$ .

Радиусы сходимости рядов $\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$ и $\sum_{k=1}^{\infty}ka_k(x-x_0)^{k-1}$ совпадают.

Доказательство. Пусть радиусы сходимости указанных рядов соответственно $R$ и $R'$ . Очевидно, что ряд $\sum_{k=1}^{\infty}ka_k(x-x_0)^k$ сходится там же, где $\sum_{k=1}^{\infty}ka_k(x-x_0)^{k-1}$ , и, следовательно, имеет тот же радиус сходимости $R'$ . В силу

$R'=\frac{1}{\underset{k\to\infty}{\lim}\sqrt[k]{|ka_k|}}=\frac{1}{\underset{k\to\infty}\lim\sqrt[k]{|k|}\times\underset{k\to\infty}{\lim}\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{\underset{k\to\infty }{\lim}\sqrt[k]{|a_k|}}=R.$

Утверждение следует из 3 и равномерной сходимости ряда.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.303.

Сказать "Спасибо"

Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда.

Комментарии