Пусть $G\subset \mathbb{R}^3$ - ограниченная область, граница которой $\partial G$ есть кусочно гладкая поверхность, ориентированная внешними нормалями. В $\bar{G}=G\cup\partial G$ задано непрерывно дифференцируемое векторное поле $\vec{a}=\{P,Q,R\}$ . Тогда поток векторного поля $\vec{a}$ через границу области $\partial G$ равен тройному интегралу от $\mathrm{div}\vec{a}$ по области $G$ , т.е.

$\iint\limits_{\partial G}(\vec{a},\vec{n})dS=\iiint\limits_{G}\mathrm{div}~\vec{a}~dG,~~~~~(1)$

или

$\iint\limits_{\partial G}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{G}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz.~~~~(2)$

Доказательство.

Докажем сначала формулу Остроградского-Гаусса в одном важном частном случае, когда область $G$ еще и элементарна относительно всех трех координатных осей. Напомним, что область $G$ называется элементарной относительно оси $z$ , если найдутся две такие непрерывные в замыкании области $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ функции $\varphi(x,y)$ и $\psi(x,y)$ , что

$G=\{(x,y,z)~:~\varphi(x,y)<z<\psi(x,y),~(x,y)\in\Omega\}$ .

Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному, получаем

$\iiint\limits_{G}\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)dxdydz=\iint\limits_{\Sigma_1}R(x,y,z)dxdy+\iint\limits_{\Sigma_2}R(x,y,z)dxdy$ .(3)

Здесь $\Sigma_1$ - поверхность, являющаяся графиком функции $\psi(x,y)$ , a $\Sigma_2$ - поверхность, являющаяся графиком функции $\varphi(x,y)$ .

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа.стр.542.(583_

Сказать "Спасибо"

Формула Остроградского-Гаусса.

Комментарии