Линейное преобразование $A$ евклидова пространства называется самосопряженным, если $A=A^*$ . Это равносильно тому, что $(A(x),y)=(x,A(y))$ для любых $x$ и $y$ .

Теорема 1. Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественны.

Доказательство. Допустим, что самосопряженное преобразование $A$ имеет не вещественный корень характеристического многочлена. Тогда согласно предположению 8 4 гл. VI существует двумерное инвариантное подпространство $\Epsilon'$ , не содержащее собственных векторов $A$ . Обозначим через $A'$ ограничение $A$ на $\Epsilon'$ . Поскольку $A'$ - самосопряженное преобразование, в ортонормированном базисе оно будет иметь симметричную матрицу

$\begin{Vmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \gamma \end{Vmatrix}$

Характеристический многочлен этой матрицы $\lambda^2-(\alpha+\gamma)\lambda+(\alpha\gamma-\beta^2)$ имеет дискриминант $(\alpha+\gamma)^2-4(\alpha\gamma-\beta^2)$ . Последнее легко преобразуется в $(\alpha-\gamma)^2+4\beta^2$ . Следовательно, дискриминант неотрицателен, характеристический многочлен имеет вещественный корень, а преобразование $A'$ - собственный вектор, что противоречит выбору подпространства $\Epsilon'$ . Теорема доказана.

Теорема 2. Собственные подпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны.

Теорема равносильна следующему утверждению.

Если собственные векторы самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным значениям, то они ортогональны.

Доказательство. Пусть $A(x)=\lambda x$ и $A(y)=\mu y$ , причем $\lambda\ne \mu$ . Тогда

$(A(x),y)=\lambda(x,y)$ .

Но иначе можно получить

$(A(x),y)=(x,A(y))=\mu(x,y)$ .

Из этих двух равенств следует $(\lambda-\mu)(x,y)=0$ , откуда $(x,y)~=~0$ , как и требовалось.

Теорема 3. Если подпространство $~\Epsilon'$ инвариантно относительно самосопряженного преобразования $A$ , то ортогональное дополнение $~\Epsilon^{\perp}$ этого подпространства - также инвариантно относительно $A$ .

Доказательство. Нам дано, что для каждого $x$ из $~\Epsilon'$ образ $A(x)$ также лежит в $~\Epsilon'$ . Поэтому $(A(x),y)=0$ для любого $y\in\Epsilon'^{\perp}$ . Но для самосопряженного $A$ это равносильно $(x,A(y))=0$ , и, следовательно, $A(y)\in\Epsilon'^{\perp}$ , как и требовалось.

Теорема 4. Пусть $A$ - самосопряженное преобразование евклидова пространства $\Epsilon$ . Тогда в $\Epsilon$ существует ортонормированный базис из собственных векторов $A$ .

Доказательство. Обозначим через $L$ сумму собственных подпространств преобразования $A$ и докажем, что она совпадает с $\Epsilon$ . Сумма собственных подпространств - инвариантное подпространство. Действительно, если вектор $x$ раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (принадлежащим каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается по ним же.

Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение $L$ также инвариантно. Допустим, что подпространство $L^{\bot}$ ненулевое и рассмотрим ограничение $A'$ преобразования $A$ на $L^{\bot}$ . Это самосопряженное преобразование, и потому оно имеет вещественные характеристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор. Этот вектор собственный и для $A$ и должен лежать в $L$ . Так как он не нулевой, в $L^{\bot}$ он лежать не может. Полученное противоречие показывает, что $L^{\bot}$ - нулевое подпространство, и $L$ совпадает с $\Epsilon$ .

Д.В. Беклимишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры стр. 228-231

Сказать "Спасибо"

Самосопряженные преобразования евклидовых пространств, свойства их собственных значений и собственных векторов.

Комментарии