Определение. Квадратичную форму $k$ будем называть положительно определенной на подпространстве $L'$ пространства $L$ , если $k(x)>0$ для любого ненулевого вектора $x$ из $L'$ .

Если говорят, что квадратичная форма положительно определена без уточнения подпространтсва, то она обладает таким свойством на всем $L$ .

Теорема. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры её матрицы удовлетворяли неравенствам

$M_k=\begin{vmatrix}\beta_{11}&\cdots&\beta_{1k}\\ \cdots&\cdots&\cdots \\ \beta_{k1}&\cdots&\beta_{kk}\end{vmatrix} > 0~~(k=1,\cdots,n)~~~~~(13).$

Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы.

Доказательство. Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы, примененные при доказательстве теоремы 1.

1. Необходимость. Если квадратичная форма $k$ положительно определена, то диагональные элементы её матрицы в любом базисе удовлетворяет условию

$\beta_{ii}=k(e_i)>0$ ,

и, следовательно, при приведении матрицы к диагональному виду особый случай не встретится. В основном случае к любой строке может быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу - только расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не изменятся. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы.

2. Достаточность. Пусть все главные миноры матрицы $B$ положительны. В частности, $M_1=\beta_{11}>0$ , и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду (10) с $\varepsilon_1>0$ . Допустим, что после $k$ шагов мы получили матрицу $B_k$ с положительными $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_k$ , причем не возникало особого случая. Тогда для левого верхнего элемента матрицы $C_k$ имеем

$\varepsilon_{k+1}=M_{k+1}/M_k$

, так как главные миноры не менялись. Поэтому $\varepsilon_{k+1}>0$ , на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положительные элементы $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{k+1}$ . Рассуждая так для всех $k$ , мы придем к доказательству утверждения.

Д.В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. стр. 204.

Сказать "Спасибо"

Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Комментарии