Рассмотрим нормальную линейную однородную систему

$\dot{x}(t)=Ax(t),~~~~~(1)$

где $t \in \mathbb{R}$ , $A$ - квадратная комплексная матрица порядка $n$ , $x(t)$ - неизвестная вектор-функция с $n$ компонентами.

Лемма 1. Если $x^{(1)}(t), x^{(2)}(t)$ решения системы (1), а $C_1, C_2$ - произвольные комплексные числа, то вектор-функция $x(t)=C_1x^{(1)}(t)+C_2x^{(2)}(t)$ также решение системы (1).

Лемма 2. Для того, чтобы вектор-функция $x(t)=e^{\lambda t}h$ была нетривиальным решением системы (1), необходимо и достаточно, чтобы $\lambda$ было собcтвенным значением, а $h$ - соответствующим ему собственным вектором преобразования $A$ .

Доказательство. Будем искать решение (1) в виде $x(t)=e^{\lambda t}h$ , где $h\ne 0$ - числовой $n$ - мерный вектор. Подставляя $x(t)$ в систему (1), получим $\lambda e^{\lambda t}h=Ae^{\lambda t}h$ или $Ah=\lambda h$ .

Теорема. Пусть существует базис $\mathbb{R}^n$ из собственных векторов $h_1,...,h_n$ линейного преобразования $A$ и пусть $\lambda_1,...,\lambda_n$ - соответствующие им собственные значения.

Тогда:

а) Вектор-функция $x(t)$ вида

$x(t)=C_1e^{\lambda_1 t}h_1+...+C_ne^{\lambda_n t}h_n~~~~~~(2)$

где $C_1,...,C_n$ произвольные комплексные постоянные, является решением системы (1).

б)Если $x(t)$ - какое-либо решение системы (1), то найдутся такие значения постоянных C₁,...,C_n, при которых $x(t)$ задается формулой (2).

Доказательство.

а)Утверждение теоремы непосредственно следует из лемм 1 и 2.

б)Пусть $x(t)$ - какое-либо решение (1). Так как $h_1,....,h_n$ - базис в $\mathbb{R}^n$ , то для $\forall t\in\mathbb{R}$

$x(t)=\zeta_1(t)h_1+...+\zeta_n(t)h_n$ .

Подставим $x(t)$ в систему (1). Имеем

$\dot\zeta_1(t)h_1+...+\dot\zeta_n(t)h_n=\zeta_1(t)Ah_1+...+\zeta_n(t)Ah_n=\zeta_1(t)\lambda_1h_1+...+\zeta_n(t)\lambda_nh_n$ .

Так как $h_1,...,h_n$ - линейно независимые вектора, то отсюда

$\dot\zeta_1(t)=\lambda_1\zeta_1(t),\ldots, \dot\zeta_n(t)=\lambda_n\zeta_n(t)$

Из этих уравнений находим, что

$\zeta_1(t)=C_1e^{\lambda_1t},\ldots,\zeta_n(t)=C_ne^{\lambda_nt}$ .

Лемма 3. Каждая из вектор-функций $x_r(t)=e^{\lambda t}\cdot P_r(t), r=1,\ldots, k$ является решением системы (1), где $P_k(t)=\left(\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}h_1+...+h_k\right)$ , где $h_1,\ldots,h_k$ - некоторая жорданова цепочка для $\lambda$ .

Доказательство. При $k=1$ утверждение леммы 3 доказано в лемме 2. Пусть $k\geqslant 2$ . Тогда $\dot{P}_r(t)=P_{r-1}(t)$ , а из определения жордановой цепочки (3) следует, что $AP_r(t)=\lambda P_r(t)+P_{r-1}(t)$ . Подставляя $x_r(t)$ в систему (1), получаем что

$\dot{x}_r-Ax_r=\lambda e^{\lambda t}P_r+e^{\lambda t}\dot{P}_r-e^{\lambda t}AP_r=0$ .

Теорема. Пусть жорданов базис в $\mathbb{C}^n$ состоит из $S$ жордановых цепочек $h_1^{(j)},..., h_{k_j}^{j}$ длин $k_j (k_1+...+k_S=n)$ для собственных значений $\lambda_j$ преобразования $A$ , $j=1,...,S$ .

Тогда:

а) вектор - функция вида

$x(t)=\sum_{j=1}^{S}e^{\lambda_j t}\left[C_1^{(j)}P_1^{(j)}(t),...,C_{k_j}^{(j)}P_{k_j}^{(j)}(t) \right]~~~~~(5)$

б) если $x(t)$ - какое-либо решение системы (1), то найдется такой набор $C_1^{(j)},...,C_{k_j}^{(j)}$ при котором $x(t)$ задается в форме (5).

Доказательство.

a) немедленно следует из принципа суперпозиции и Леммы 3.

б) Пусть $x(t)$ - какое-либо решение системы (1). Покажем, что оно имеет вид (5). При каждом $\forall t\in\mathbb{R}$ решение $x(t)$ можно раздожить по жордановому базису $\mathbb{C}^n$ . Пусть

$x(t)=\sum_{j=1}^{S}\left[\zeta_1^{(j)}(t)h_1^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}(t)h_{k_j}^{(j)} \right]$

Подставим $x(t)$ в (1) и воспользуемся определением жордановой цепочки. Имеем и из единственности разложениянаходим $S$ систем вида:

$\left\{\begin{array}{lcl} \dot\zeta_1^{(j)}=\lambda_j\zeta_1^{(j)}+\zeta_2^{(j)} \\ ........................\\ \dot\zeta_{k_j-1}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j-1}^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}\\ \dot\zeta_{k_j}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j}^{(j)}\end{array} \right.$

решая эти системы приходи к утверждению теоремы.

Сказать "Спасибо"

Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

Комментарии