Сказать "Спасибо"

Помочь проекту

Предельная теорема Пуассона.

Если $n\to\infty$ и $p\to 0$ так, что $np\to\lambda$ , $0<\lambda<\infty$ , то

$P(\mu_n=m)=C^m p^m q^{n-m}\to p_m(\lambda)=\frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}$

при любом постоянном $m,~m=1,2,\cdots$ .

Доказательство.

Положив $np=\lambda_n$ , представим вероятность $P(\mu_n=m)$ в виде

$P(\mu_n=m)=\frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!}\left(\frac{\lambda_n}{n}\right)^m\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^{n-m}=$ $=\frac{\lambda_n^m}{m!}\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^{-m}$ .

Отсюда при $n\to \infty$ получим утверждение теоремы.

Сказать "Спасибо"

Предельная теорема Пуассона.

Комментарии