Теорема. Пусть в точке $x^{(0)}$ непрерывны все частные производные

$\frac{\partial f}{\partial x_i}~(i=1,...,n)$

функции $f$ . Тогда $f$ дифференцируема в точке $x^{(0)}$ .

Доказательство ради простоты записи проведем для случая функции двух переменных $(n=2)$ . Непрерывность частных производных функции в точке $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$ включает предположение об их существовании в некоторой окрестности $U_\delta((x_0,y_0))$ .

Считая $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2<\delta^2$ , рассмотрим приращение функции

$\Delta f(x_0,y_0)~=~f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=$

$=~[f(x_0+\Delta x, y+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0, y+\Delta y)-f(x_0, y)]$ .

Правая часть представляет собой сумму приращений функции по одной переменной при фиксированной другой. Применяя по соответствующей переменной теорему Лагранжа о конечных приращениях, имеем

$\Delta f(x_0, y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y$ .

Но производные $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ непрерывны в точке $(x_0, y_0)$ . Поэтому

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y),$

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+\varepsilon_2(\Delta x, \Delta y),$

где $\varepsilon_1,\varepsilon_2\to 0$ при $(\Delta x, \Delta y)\to(0,0)$ . Подставляя полученные выражения в $\Delta f(x_0,y_0)$ имеем

$\Delta f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\Delta y+\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y)\Delta x+\varepsilon_2(\Delta x, \Delta y)\Delta y$ .

Справедливо

$\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y)\Delta x+\varepsilon_2(\Delta x, \Delta y)\Delta y=o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$

Следовательно функция $f$ дифференцируема в точке $(x_0, y_0)$ .

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.171.

Сказать "Спасибо"

Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

Комментарии