Определение. Пусть функция $f$ определена на некоторой окрестности точки $x^{(0)}$ . Точка $x^{(0)}$ называется точкой минимума функции $f$ , если

$\exists U(x^{(0)})~:~f(x^{(0)})\le f(x) ~\forall x \in \dot{U}(x^{(0)}).$

Необходимые условия экстремума. Пусть функция $f$ имеет в точке экстремума $x^{(0)}$ частную производную $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(0)})$ . Тогда $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(0)})=0$ .

Доказательство. Пусть для определенности $i=1$ . Рассмотрим функцию $\varphi$ одной переменной $x_1$ $\varphi (x_1)=f(x_1,x_2^{(0)},...,x_n^{(0)})$ . Она имеет экстремум в точке $x_1^{(0)}$ . Тогда по теореме Ферма

$0=\varphi '(x_1^{(0)})=\frac{\partial f}{\partial x_1} (x^{(0)})$ .

Определение. Точка $x^{(0)}$ называется стационарной точкой функции $f$ , если $f$ дифференцируема в точке $x^{(0)}$ и $df(x^{(0)})~=~0$ .

Лемма: Пусть квадратичная форма $A(\xi)=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \xi_i \xi_j (1)$ положительно определенна. Тогда при некотором $\mu>0$

$A(\xi)\ge\mu|\xi|^2, \forall\xi\in\R^n(2)$

Доказательство. При $|\xi|=0$ (2) - очевидно. При $|\xi|>0$ , деля обе части (2) на $|\xi|^2$ и полагая $\eta=\frac{\xi}{|\xi|}$ , сводим доказательство (2) к доказательству неравенства

$\mu=\min A(\eta)>0, \eta\in\R^n |\eta|=1$

Последнее вытекает из теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что непрерывная функция ( $A(\eta)$ ) на компакте достигает своего наименьшего значения в некоторой точке $\eta^*$

Достаточные условия строгого экстремума. Пусть функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки $x^{(0)} \in \R^n$ .

Пусть второй дифференциал $d^2f(x^{(0)})$ функции $f$ в точке $x^{(0)}$

$d^2f(x^{(0)}) = \sum^{n}_{i,j=1} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (x^{(0)})dx_i dx_j (3)$

является положительно определенной (отрицательно) квадратичной формой. Тогда $x^{(0)}$ - точка строгого минимума (максимума) функции $f$ .
Если же квадратичная форма $d^2f(x^{(0)})$ является неопределенной, то в точке $x^{(0)}$ нет экстремума.

Доказательство.Напишем разложение функции $f$ по формуле Тейлора в окрестности стационарной точки $x^{(0)}$ с остаточным членом в форме Пеано:

$\triangle f(x^{(0)}) = f(x^{(0)} + \triangle x)-f(x^{(0)})=\frac{1}{2} \sum^{n}_{i,j=1} \frac{\partial^2 f(x^{(0)})}{\partial x_i \partial x_j} \triangle x_i \triangle x_j + \varepsilon (\triangle x)|\triangle x|, \varepsilon (\triangle x) \xrightarrow [\triangle x \rightarrow \vec{0}]{} 0$

Члены с первыми производными отсутствуют, так как $x^{(0)}$ - стационарная точка. Запишем последнюю формулу в виде

$\triangle f(x^{(0)})=\frac{1}{2} \left [ \sum^{n}_{i,j=1} \frac{\partial^2 f(x^{(0)})}{\partial x_i \partial x_j} \frac{\triangle x_i}{|\triangle x|} \frac{\triangle x_j}{|\triangle x|} + \varepsilon (\triangle x)\right ]|\triangle x|^2 (4)$

Пусть сначала $d^2f(x^{(0)})$ (3) - положительно определенная форма. Тогда из (4) и (2) следует, что

$\triangle f(x^{(0)})\ge \left [\frac{1}{2}\mu+\varepsilon(\triangle x) \right ] |\triangle x|^2, \mu>0.$

Поскольку $\varepsilon(\triangle x) \xrightarrow{\triangle x\rightarrow \vec{0}} 0$ , то $\exists \delta >0 :$

$|\varepsilon(\triangle x)|<\frac{\mu}{4}, \forall x: 0<|\triangle x|<\delta$

$\Rightarrow \triangle f(x^{(0)})\ge \frac{\mu}{4}|\triangle x|^2>0, \forall x: 0<|\triangle x|<\delta$

Последнее значит, что $x^{(0)}$ - точка строгого минимума функции $f$ . Аналогично для отрицательно определенной формы.

Пусть теперь $d^2f(x^{(0)})$ (3) - неопределенная квадратичная форма. Значит $\exists\xi'\xi''\in\R^n$ такие, что $A(\xi')<0,A(\xi'')>0$ . Полагая $\eta'=\frac{\xi'}{|\xi'|}, \eta''=\frac{\xi''}{|\xi''|}$ , получаем, что

$\alpha=A(\eta')<0, \beta=A(\eta'')>0, |\eta'|=1 |\eta''|=1$

Пусть $\triangle x=t\eta', |\triangle x|=t (t>0)$ . Тогда из (4)

$f(x^{(0)}+\triangle x)-f(x^{(0)})=\left [ \frac{1}{2}\alpha+\varepsilon(t\eta') \right ] t^2\le \frac{\alpha}{4}t^2<0$

при всех достаточно малых $t=|\triangle x|$ .
Если же взять $\triangle x=t\eta'', (t>0)$ , то

$f(x^{(0)}+\triangle x)-f(x^{(0)})=\left [ \frac{1}{2}\beta+\varepsilon(t\eta'') \right ] t^2\ge \frac{\beta}{4}t^2>0$

Видно, что при любой сколь угодно малой окрестности $U(x^{(0)})$ разность $f(x)-f(x^{(0)}), x\in U(x^{(0)})$ , принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, точка $x^{(0)}$ не является точкой экстремума функции $f$ .

Сказать "Спасибо"

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.

Комментарии