Обратимся к случаю, когда невозмущенный оператор $\hat{H}_0$ имеет вырожденные собственные значения. Будем обозначать посредством $\psi^{(0)}_n, \psi^{(0)}_{n'}, \ldots$ собственные функции, относящиеся к одному и тому же собственному значению энергии $E^{(0)}_n$ . Выбор этих функций неоднозначен - вместо них можно выбрать любые $s$ независимых линейных комбинаций этих же функций. Он перестает, однако, быть произвольным, если мы подчиним волновые функции требованию, чтобы их изменение под влиянием приложенного малого возмущения было малым.

Пока что будем подразумевать под $\psi^{(0)}_n, \psi^{(0)}_{n'}, \ldots$ некоторые произвольно выбранные невозмущенные собственные функции. Правильные функции нулевого приближения - линейные комбинации вида

$c^{(0)}_n\psi_n^{(0)}+c^{(0)}_{n'}\psi_{n'}^{(0)}+\ldots$

Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с поправками первого приближения к собственным значениям, следующим образом.

Выпишем уравнение

$(E-E^{(0)}_k)c_k=\sum_m V_{km}c_m$

с $k=n,n',\ldots$ , подставив в них в первом приближении $E=E^{(0)}_n+E^{(1)}_n$ , причем для величин $c_k$ достаточно ограничиться нулевыми значениями $c_n=c_n^{(0)}, c_{n'}=c_{n'}^{(0)},\ldots;~c_m=0$ при $m \ne n,~n',\ldots$ . Тогда получим

$E^{(1)}c^{(0)}=\sum_{n'}V_{nn'}c^{(0)}_{n'}$

или

$\sum_{n'}(V_{nn'}-E^{(1)}\delta_{nn'})c^{(0)}_{n'}=0~~~~(1)$ ,

где $n,~n'$ пробегают все значения, нумерующие состояния, относящиеся к данному невозмущенному собственному значению $E^{(0)}_{n}$ . Это система однородных линейных уравнений для величин $c^{(0)}_n$ имеет отличные от нуля решения при условии обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Таким образом, получаем уравнение

$\det\left|\left|V_{nn'}-E^{(1)}\delta_{nn'}\right|\right|=0~~~~(2)$ .

Это уравнение - $s$ -степени по $E^{(1)}$ и имеет, вообще говоря, $s$ - различных вещественных корней. Эти корни и представляют собой искомые поправки первого приближения к собственным значениям. Уравнение (39.2) называют секулярным. Отметим, что сумма его корней равна сумме диагональных матричных элементов $V_{nn},~V_{n'n'},\ldots$ - это есть коэффициент при $E^{(1)s-1}$ в уравнении.

Подставляя поочередно корни уравнения (2) в систему $(1)$ и решая последнюю. Найдем коэффициенты $c^{(0)}_n$ и таким образом определим собственные функции нулевого приближения.

В результате возмущения первоначально вырожденный уровень энергии перестает, вообще говоря, быть вырожденным; как говорят возмущение снимает вырождение. Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным.

Ландавшиц 174

Сказать "Спасибо"

Стационарная теория возмущений для случая вырожденного уровня энергии.

Комментарии