Ниже мы будем рассматривать вероятности квантовых переходов используя первый порядок возмущений. В этом случае вероятность перехода из состояния $|i\rangle$ в $|f\rangle$ дается соотношением

$W_{fi}=\frac{1}{\hbar^2}\left|\int\limits_{0}^{\tau}V_{fi}(t')e^{i\omega_{fi}t'}dt'\right|^2,~~f\ne i.~~~~(4.16)$

Это соотношение может быть упрощено в двух предельных случаях - очень плавного - адиабатического и очень быстрого - внезапного изменения возмущения $\hat{V}(\xi, t)$ во времени. Для этого преобразуем соотношение $(4.16)$ , используя метод интегрирования по частям с учетом того, что $\hat{V}(\xi, t)$ обращается в нуль при $t=0$ и $t=\tau$ :

$i\omega_{fi}\int\limits_{0}^{\tau}V_{fi}(t)e^{i\omega_{fi}t}dt=\underbrace{\left.e^{i\omega_{fi}t}V_{fi}(t)\right|^{\tau}_0}_{0}-\int\limits_{0}^{\tau}e^{i\omega_{fi}t}\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)dt$ .

После сделанных преобразований вероятность перехода определяется соотношением

$W_{fi}=\frac{1}{(\hbar\omega_{fi})^2}\left|\int\limits_{0}^{\tau}e^{i\omega_{fi}t}\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)dt\right|^2,~~~~(4.17)$

также содержащим интегрирование по времени, но уже от частной производной по времени матричного элемента оператора возмущения.

Как видно в соотношении $(4.17)$ скорость изменения матричного элемента фигурирует вместе с осциллирующей экспонентой, что позволяет выделить два предельных случая "внезапного" и "адиабатического" возмущения. С одной стороны, соотношение $(4.17)$ содержит величину, определяющую характерные времена $(T\sim\omega_{fi}^{-1})$ и энергии $(E=\hbar\omega_{fi})$ для данной квантовой системы, с другой же - скорость изменения матричного элемента, характеризующую изменение внешнего поля, определяемого потенциалом $\hat{V}(\xi,t)$ . Нетрудно составить безразмерный параметр $\beta$ , определяющий режим "внезапного" и "адиабатического" возмущения:

$\beta=\frac{T}{E}\left(\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)\right)\sim \frac{1}{\hbar\omega^2_{fi}}\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)$ .

Если $\beta\ll 1$ , т.е. внешнее поле изменяется достаточно медленно по сравнению с характерными изменениями в квантовой системе ( $\sim E/T$ ), то говорят об адиабатическом возмущении; в противоположном случае, $\beta \gg 1$ , то говорят, что возмущение включается внезапно.

В случае адиабатического возмущения производная от матричного элемента является медленно меняющейся функцией времени и может быть вынесена из-под знака интеграла. В этом случае интеграл по $t'$ элементарно вычисляется и мы имеем:

$W_{fi}\approx \frac{4}{\hbar^2\omega^{4}_{fi}}\left|\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)\right|^2\sin^2(\omega_{fi}\tau/2)$ ,

причем, ввиду адиабатичности перехода, значение производной может быть выбрано в произвольный момент времени, например, в точке максимального значения производной. Очевидно, так как $\beta\gg 1$ , то и $W_{fi}\ll 1$ . Таким образом, вероятность переходов под действием адиабатического возмущения мала.

Если включение возмущения происходит внезапно, то в значении интеграла $(4.17)$ основной вклад дает малый промежуток времени $\Delta t\ll \omega_{fi}^{-1}$ , в течение которого происходит максимальное возмущения. В этом случае экспонента слабо изменяется за это время и может быть вынесена из под знака интеграла. Оставшийся интеграл вычисляется элементарно, и мы имеем:

$W_{fi}\approx \frac{|V_{fi}(t_0)|^2}{\hbar^2\omega^2_{fi}},~~~~(4.20)$

где $t_0$ - момент времени, соответствующий максимальному значению взаимодействия при его внезапном включении.

Соотношение $(4.20)$ позволяет вычислить вероятности перехода под действием внезапных, но малых по абсолютной величине возмущений. В данном случае малость возмущения необходима для выполнения общих условий применимости теории возмущений. В некоторых случаях возмущение нельзя считать малым по абсолютной величине, так что формализм теории возмущений становится неприменимым и задачу приходится решать точно.

Квантмех 2 стр 44

Сказать "Спасибо"

Адиабатические и внезапные возмущения.

Комментарии