Рассмотрим линейный осциллятор - частицу, совершающую одномерные малые колебания. Потенциальная энергия такой частицы равна $m\omega^2x^2/2$ , где $\omega$ - в классической механике собственная частота колебаний. Соответственно этому, гамильтониан осциллятора

$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}$

Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при $x=\pm\infty$ , то частица может совершать лишь финитное движение. В соответствии с этим весь энергетический спектр осциллятора будет дискретным.

Уравнение Шредингера для осциллятора:

$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-\frac{m\omega^2x^2}{2}\right)\psi=0$ .

Введем новую переменную

$\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$ .

Тогда получим уравнение

$\psi''+\left(\frac{2E}{\hbar\omega}-\xi^2\right)\psi=0.~~~~~(1)$

При больших $\xi$ можно опустить $2E/\hbar\omega$ по сравнению с $\xi^2$ ; уравнение $\xi''=\xi^2\psi$ имеет асимптотические интегралы $\psi=e^{\pm\xi^2/2}$ . Поскольку волновая функция $\psi$ должна оставаться при $\xi\pm\infty$ конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус. В связи с этим естественно сделать в уравнение $(1)$ подстановку

$\psi=e^{-\xi^2/2}v(\xi)~~~~(2)$ .

с неизвестной функцией $v(\xi)$ . Подстановка (2) в (1) приводит к следующему уравнению:

$v''(\xi)-2\xi v'(\xi)+(\lambda -1)v(\xi)=0.~~~~~(3)$

где $\lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}$ . Решение должно удовлетворять граничному условию:

$v(\xi)e^{-\xi^2/2}\left.\right|_{\xi\to\pm\infty}=0~~~~(4)$ .

Представим неизвестную функцию $v(\xi)$ в виде ряда Тейлора по степеням $\xi$ с неизвестными коэффициентами:

$v(\xi)=\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k.~~~~(5)$

После подстановки $(5)$ уравнение $(3)$ принимает вид:

$\sum^{\infty}_{k=0}\left\{(k+2)(k+1)a_{k+2}-\left[2k-(\lambda-1)\right]a_k\right\}\xi^k=0.~~~~~(6)$

При приведении подобных слагаемых в первой сумме мы сделали замену индекса суммирования $k\to k+2$ .

Уравнение $(6)$ эквивалентно уравнению $(3)$ . Чтобы (6) выполнялось тождественно при любых значениях $\xi$ . Коэффициенты при всех степенях $\xi$ должны обратиться в нуль, откуда получаем следующее рекуррентное соотношение для коэффициентов $a_k$ :

$a_{k+2}=\frac{2k-(\lambda-1)}{(k+2)(k+1)}a_k.~~~~~(7)$

Исследуем ряд (2) при условии $|\xi|\gg\max|\sqrt{\lambda},1|$ . Рассмотрим его далекие слагаемые $(k\gg 1)$ . На основании (7) имеем:

$\frac{a_{k+2}}{a_k}\left.\right|_{k\gg 1}\simeq \frac{2}{k}$ .

Но такому же соотношению удовлетворяют коэффициенты разложения функции $e^{\xi^2}$ :

$e^{\xi^2}=\sum^{\infty}_{m=0}\frac{\xi^{2m}}{m!}$

Итак, ряд (5) для $v(\xi)$ имеет асимптотику $e^{\xi^2}$ и функция $psi(\xi)$ в (2) не удовлетворяет граничному условию (4), а именно, она растет на бесконечности как $e^{\xi^2/2}$ , что противоречит стандартному условию конечности. Тем не менее, все же можно обеспечить выполнения условия (4), поскольку рекуррентное соотношение (7) содержит пока произвольный параметр $\lambda$ . Его можно подобрать так, чтобы ряд (5) содержал, конечное число слагаемых, т.е. стал полиномом. Действительно, выбрав $\lambda$ положительно нечетным

$\lambda_n=2n+1~~~~(8)$

в соответствии с (7) получим:

$a_{n+2}=\frac{2n-\left[(2n+1)-1\right]}{(n+1)(n+2)}$

при этом условии ряд (5), превратившись в полином конечной степени $n$ обеспечит выполнение условия (4).

Выясним смысл найденных значений $\lambda$ . Этот безразмерный параметр связан с энергией соотношением (6), поэтому с помощью (8) находим значения энергий стационарных состояний осциллятора:

$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right),~~~n=0,1,..$

Сказать "Спасибо"

Линейный гармонический осциллятор

Комментарии