Матричные элементы одной и той же физической величины могут определяться по отношению к различным совокупностям волновых функций. Это могут быть, например, волновые функции стационарных состояний, описывающихся различными наборами физических величин, или волновые функции стационарных состояний одной и той же системы, находящейся в различных внешних полях. В связи с этим возникает вопрос о преобразовании матриц от одного представления к другому.

Пусть $\psi_n(q)$ и $\psi'_n(q)~(n=1,2,\ldots)$ - две полные системы ортонормированных функций. Они связаны друг с другом некоторым линейным преобразованием

$\psi'_n=\sum_{m}S_{mn}\psi_m$ ,

представляющим собой просто разложение функций $\psi'_n$ по полной системе функций $\psi_n$ . Это преобразование можно записать в виде

$\psi'_n=\hat{S}\psi_n$ .

Оператор $\hat{S}$ должен удовлетворять определенному условию, для того чтобы обеспечить ортонормированность функций $\psi'_n$ , если таковыми являются функции $\psi_n$ . действительно, подставив (12.2) в условие $\int \psi^{'*}_m\psi'_ndq=\delta_{mn}$ и учитывая определение транспонированного оператора (3.14), получим

$\int(\hat{S}\psi_n)\hat{S}^*\psi^*_mdq=\int \psi^*_m \tilde{hat S}^{*}\hat{S}\psi_ndq=\delta_{nm}$

Для того чтобы это равенство имело место при всех $m,n$ , должно быть $\tilde{\hat S}\cdot\hat{S}=1$ , или

$\tilde{\hat S} \equiv \hat{S}^{+}=\hat{S}^{-1}$

т.е. обратный оператор совпадает с сопряженным. Операторы, обладающие таким свойством, называют унитарным.

Унитарные преобразования сохраняют нормировку волновой функции, и значения коммутаторов.

Ландавшиц стр54

Сказать "Спасибо"

Унитарные преобразования векторов состояний и операторов

Комментарии