Уравнение Дирака — релятивистское обобщение уравнения Шрёдингера:

Чтобы описать релятивистскую частицу, мы должны найти отличный от нерялитивиствкого случая гамильтониан. При этом есть основания предполагать, что оператор импульса сохраняет приведенное только что определение. Согласно релятивистскому соотношению, полная энергия системы выражается как

$E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.$

Следовательно

$\hat{H}^2=-\hbar^2c^2\Delta+m^2c^4$

Это приводит к выражению

$\sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}.$

Это не вполне удовлетворительное уравнение, так как не видно явной лоренц-ковариантности (выражающей формальное равноправие времени и пространственных координат, что является одним из краеугольных камней специальной теории относительности), а кроме того — написанный корень из оператора не выписан явно. Однако возведение в квадрат левой и правой части приводит к явно лоренц-ковариантному уравнению Клейна-Гордона. Дирак предположил, что поскольку правая часть уравнения содержит первую производную по времени, то и левая часть должна иметь только производные первого порядка по пространственным координатам (иначе говоря — операторы импульса в первой степени). Тогда, полагая, что коэффициенты перед производными, какую бы природу они ни имели, — постоянные (вследствие однородности пространства), остается только записать:

$i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi$

— это и есть уравнение Дирака (для свободной частицы).

Сказать "Спасибо"

Уравнение Дирака свободной релятивистcкой частицы

Комментарии