Система Orphus

Приближение Борна

Вычислим сечение рассеяния, когда рассеивающее поле может рассматриваться как возмущение

Это возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий:

|U|\ll\frac{\hbar^2}{ma^2}

или

|U|\ll\frac{\hbar v}{a}=\frac{\hbar^2}{ma^2}ka,

где a - радиус действия поля U(r), а U - порядок его величины в основной области существования.

Ищем волновую функцию в виде \psi=\psi^{(0)}+\psi^{(1)}, где \psi^{(0)}=e^{i\bold{kr}}. Из формулы

\psi^{(1)}(x,y,z)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int\psi^{(0)}U(x',y',z')e^{ikr}\frac{dV'}{r}

имеем

\psi^{(1)}(x,y,z)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int U(x',y',z')e^{i(\bold{kr}'+kR)}\frac{dV'}{R}.

На больших расстояниях от центра R_0\gg r'

R=|\bold{R}_0-\bold{r}'|\approx -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\frac{e^{ikR_0}}{R_0}\int U(\bold{r}')e^{i(\bold{k}-\bold{k}')\bold{r}'}dV'

где \bold{k}'=k\bold{n}' - волновой вектор после рассеяния. Сравнивая с определением амплитуды рассеяния в

\psi\approx e^{ikz}+\frac{f(\theta)}{r}e^{ikr}.

получим для нее выражение

f=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int Ue^{-\bold{qr}}dV,

в котором мы произвели переобозначение переменных интегрирования и ввели вектор

\bold{q}=\bold{k}'-\bold{k}

с абсолютной величиной

q=2k\sin\frac{\theta}{2},

где \theta - угол между \bold{k} и \bold{k}', т.е. угол рассеяния.

Получим следующую формулу для сечения рассеяния в элементе телесного угла do:

d\sigma=\frac{m^2}{4\pi^2\hbar^4}\left|\int Ue^{-\bold{qr}}dV\right|^2do

Это формула получена Борном в 1926 г. Такое приближение называют борновским.

Ландавшиц стр 619


Система Orphus

Комментарии