Основу формализма квантовой механики составляет введение некоторого абстрактного пространства векторов, описывающих чистые состояния. Такие пространства являются обобщением на бесконечномерный случай евклидового пространства и называются гильбертовыми пространствами $L^{1}$ .

Если квантовая система имеет $n$ ортогональных состояний $\Psi_{n}$ , то состояние такой системы будет представлено вектором в $n$ - мерном гильбертовом пространстве. Выбранные $n$ состояний формируют ортогональный базис векторного пространства. Тогда состояние физической системы $\Psi(t)$ в любой момент времени $t$ будет определяться вектором $|\Psi(t)\rangle$ .

$\Psi=\sum a_n\Psi_n \to |\Psi\rangle=\sum a_n|n\rangle=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix}$

Очевидно, что собственному состоянию $\Psi_n$ будет соответствовать вектор, у которого от нуля будет отличен только $n$ - й компонент.

Любая функция может быть представлена в виде набора ортогональных, поэтому все функции $f$ образуют гильбертово пространство. Но в нашем случае физический смысл имеют только квадратично интегрируемые комплексные функции $\Psi$ , квадрат модуля которых в области определения образуют сходящийся интеграл

$\int |\Psi|^2 d\xi < \infty$ .

Такие функции образуют векторное подпространство, обозначаемое в математике $L_2$ . Обычно, когда в физике упоминается "гильбертово пространство", имеется в виду именно $L_2$ . Поскольку введенные таким образом векторы соответствуют функциям, в большинстве случаев образованных бесконечным набором ортогональных базисных функций, то обычно они оперируют в бесконечномерных пространствах.

Сказать "Спасибо"

Состояния физической системы как векторы гильбертового пространства

Комментарии