Статистическая независимость и закон больших чисел

Статистическая независимость

Две физические величины называются статистически независимыми(некоррелироваными) при условии

$\langle\Delta A * \Delta B\rangle=0.$

Два тела статистически независимы, если все физические величины, относящиеся к одному телу не коррелированы со всеми физическими величинами второго тела.

Закон больших чисел

Мысленно разобьем макроскопическое однородное тело на большое число $M$ одинаковых статистически независимых подсистем. Средние значение энергий одинаковых подсистем $\langle e_i\rangle$ равны друг другу. Поэтому средняя энергия всей системы есть

$\langle E\rangle=\langle \sum^{M}_{i}e_i\rangle=M\langle e_1\rangle.$

Вычислим дисперсию энергии системы:

$\sigma^2=\langle \Delta E^2\rangle=\langle \sum_{i}\Delta e_i\sum_{j}\Delta e_j\rangle=$

$=\sum_i \langle (\Delta e_i)^2\rangle+\sum_{i\ne j}\langle \Delta e_i\Delta e_j\rangle.$

Поскольку дисперсии у всех систем одинаковые, а корреляции флуктуаций независимых подсистем равны нулю, то

$\sigma^2=M\sigma_1^2.$

Отсюда находим, что относительная флуктуация энергии системы, равная

$\frac{\sigma}{\langle E\rangle}=\frac{\sigma}{\langle e\rangle\sqrt{M}},$

очень мала, если $M>>1$ . Очевидно, что этот результат, который в математической статистике называется законом больших чисел, справедлив для любой физической величины.

Сказать "Спасибо"

Статистическая независимость и закон больших чисел

Статистическая независимость

Закон больших чисел

Комментарии