Среднее значение энергии макроскопической замкнутой системы и дисперсия энергии

Применяя распределение Гиббса вычислим среднее значение энергии системы и ее дисперсию

$\langle E\rangle=\sum_{\alpha}\omega_{\alpha}E_{\alpha}=$ $\frac{\sum\limits_{\alpha}e^{-\beta E_\alpha}E_\alpha}{\sum\limits_{\alpha}e^{-\beta E_\alpha}}=-\frac{1}{Z}\frac{dZ}{d\beta}=-\frac{d\ln Z}{d\beta}=-T^2\frac{d}{dT}\frac{F}{T}=F+TS$ .

Заметим, что это вычисление дает новое и более простое доказательство

$\langle E^2\rangle=\sum_{\alpha}\omega_{\alpha}E^2_{\alpha}=\frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{d\beta^2}$ ,

Разность предыдущих выражений образует дисперсию:

$\langle \Delta E^2\rangle=\langle (E-\langle E\rangle)^2\rangle=\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2=$ $\frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{d\beta^2}-\frac{1}{Z^2}\left( \frac{dZ}{d\beta}\right)^2=\frac{d}{d\beta}\left( \frac{1}{Z}\frac{dZ}{d\beta}\right)=$ $=-\frac{d}{d\beta}\langle E\rangle=T^2\frac{dE}{dT}=T^2 C_V$ .

Сказать "Спасибо"

Среднее значение энергии макроскопической замкнутой системы и дисперсия энергии

Комментарии