Займемся изучением переменных полей при наличие произвольно движущихся зарядов.

Выведем уравнения, определяющие потенциалы поля, создаваемого движущимися зарядами. Надо использовать вторую пару уравнений Максвелла

$\frac{\partial F^{ik}}{\partial x^k}=-\frac{4\pi}{c}j^{i}$

с отличной от нуля правой частью. Такая же правая часть появится и в уравнении

$\frac{\partial^2 A^k}{\partial x_i \partial x^k}-\frac{\partial^2 A^i}{\partial x_k \partial x^i}=0$

и после наложения на потенциалы условия Лоренца

$\frac{\partial A^i}{\partial x^i}=0$ , т.е. $\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t}+div \vec{A}=0$

получим

$\frac{\partial^2 A^i}{\partial x_k \partial x^k}=\frac{4\pi}{c}j^i$

Это и есть уравнение, определяющее потенциалы произвольного электромагнитного поля. В трехмерном виде оно записывается в виде двух уравнений - для $\vec{A}$ и для $\varphi$ :

$\Delta \vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2}=- \frac{4\pi}{c}\vec{j}$ ,

$\Delta \varphi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}=-4\pi \rho$ .

Для нахождения решения этого частного интеграла разделим все пространство на бесконечно малые участки и определим поле, создаваемое зарядом, находящимся в одной из таких элементов объема. Вследствие линейности уравнений истинное поле будет равно сумме полей, создаваемых всеми такими элементами. Нам надо решить уравнение

$\Delta\varphi- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}=-4\pi de(t)\delta(\vec{R})$

Общее решение имеет вид

$\varphi(\vec{r},t)=\int \frac{1}{R}\rho(\vec{r}, t - \frac{R}{c})dV'+\varphi_0$ , $\vec{R}= \vec{r}- \vec{r}'~,~~~dV'=dx'dy'dz'$ ,

где $\vec{r}=(x, y, z)$ , $\vec{r}'=(x', y', z')$ ; $R$ есть расстояние от элемента объема $dV'$ до "точки наблюдения", в которой мы ищем значение потенциала. Аналогичным образом имеем для векторного потенциала:

$\vec{A}= \frac{1}{c}\int \frac{\vec{j}_{t-R/c}}{R}dV+\vec{A}_0$ - выражения для запаздывающего потенциала.

Сказать "Спасибо"

Запаздывающие потенциалы.

Комментарии