Пусть Г –кусочно-гладкий контур, а непрерывная на Г функция, тогда z не принадлежит границе Г – называется интегралом типа Коши.
При
сформулированных условиях функция
определена и дифференцируема бесконечное число раз, причём для производных
справедлива формула
Доказательство:
Докажем формулу при n=1. Так как непрерывна
на контуре Г, то существует число М< такое, что
Фиксируем точку z не принадлежащую Г. Пусть .
Очевидно d>0. Выберем число rи
возьмём произвольное число так,
чтобы .
Тогда для любого
Оценим выражение
Упростим выражение в скобках под
интегралом получим
Поэтому получаем оценку
в
пределе получаем равенство.
Общий
случай получается аналогично первому случаю для n-1 производной, учитывая равенство
Пусть функция f регулярна в области G. Тогда эта функция имеет в G производные всех порядков.