Теорема 1. Пусть ф-ция f(z) регулярна в ограниченной области D, за исключением конечного числа полюсов, ф-ции f(z) и f '(z) непрерывны около границы Г  области D вплоть до Г и . Тогда =N-P (1), где N- число нуей, P- число полюсов ф-ции f(z) в  области D. При этом каждый нуль ф-ции f(z) считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс столько раз, каков его порядок.

Док-во: Покажем, что число нулей  ф-ции f(z) в  области D конечно. Если f(z) имеет бесконечное число нулей, то сущ-ет их предельная точка , т.к. . Тогда по теореме единственности f(z)0, что противоречит условию . Таким образом, ф-ция F(z)=имеет  в  области D конечное число полюсов — это полюсы и нули f(z). По т. о вычетах левая часть (1) равна , где - полюсы функции F(z).

Найдем вычеты. В проколотой окр-ти точки имеем f(z)=(2), где >0, если - нуль f(z) кратности , или  <0, где - это порядок полюса ф-ции f(z), регулярна в т.и 0. Из (2) получаем: F(z)==+, откуда =. Т.о., левая часть (1) равна , в которой сумма положительных равна N, а сумма отрицательных равна -P. ЧТД.

Рассм. случай, когда D — односвязна. Т.к , то сущ-ет замкнутая кривая D, близкая к кривой Г, такая что f(z)0 в области между кривыми Г и , с разрезом по некоторому отрезку, соединяющему 2 точки, принадлежащие соответственно Г и . По теореме о монодромии в сущ-ет регулярная ветвь g(z) аналитической функции Ln f(z). Тогда g '(z)=. Вместо этого рав-ва обычно пишут =(Ln f(z))', и выражение называют логарифмической производной ф-ции f(z). Поэтому =(Ln f(z))=Ln f(z) (3), где Ln f(z) — приращение ф-ции Ln f(z) по кривой Г. Т.к. Ln f(z)=+i arg f(z) и ф-ция однозначна, то =0, Ln =iarg f(z). Из (1)-(3) arg f(z)= N-P (4), если D — односвязна. В частности, если f(z) регулярна в D, то N=arg f(z). (5).

Из т.1 следствие. Если  f(z) регулярна в ограниченной односвязной области D, непрерывна вплоть до её границы Г и , то справедлива ф-ла (5).

Формулы (4), (5) называют принципом аргумента. Выясним геометрический смысл (5): пусть Г ' - образ кривой Г при отображении w=f(z). Тогда  arg f(z)=arg w, поэтому N – число оборотов кривой Г '  вокруг точки w=0.

Теорема 2 (Руше). Пусть ф-ции f(z) и g(z) регулярны  в ограниченной односвязной области D,  непрерывны вплоть до её границы Г и при zГ  выполняется нер-во: >(6). Тогда ф-ции f(z) и F(z)=f(z) +g(z)  имеют в области D одинаковое число нулей.

Док-во: Пусть и - числа нулей для F(z) и f(z) в D. Из (6) при zГ  выполняются нер-ва >0, >0. По ф-ле (5) и по св-вам приращения аргумента получаем: =  arg F(z)=  arg [f(z)(1+)]=  arg f(z)+  arg (1+)=+  arg (1+). Покажем, что   arg (1+)=0 (7). Пусть Г ' - образ кривой Г при отображении w=1+. Т.к. при  zГ  выполняется нер-во =<1, то кривая Г ' принадлежит кругу <1, поэтому число оборотов кривой вокруг точки w=0 равно нулю и справедливо рав-во (7). ЧТД.

Теорема 3 (осн.теорема алгебры). Многочлен P(z)=++...++ (8) имеет в комплексной плоскости ровно n нулей.

Док-во: Обозначим f(z)=, g(z)=+...++ P(z)=f(z)+g(z). Т.к. =0, то сущ-ет число >0 такое, что <1 при . По т.Руше многочлен P(z) имеет в любом круге <Rодинаковое число нулей с функцией f(z)=, т.е n. ЧТД.

Замечание. Если число такое, что <1 при , то все нули ф-ции P(z) находятся в круге<.