1. Теоремы о связи линейной зависимости, компланарности и коллинеарности векторов.

Вектор — отрезок, концы которого упорядочены. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (также модулем и абсолютной величиной), обозначается или . Векторы называются коллинеарными, если существуют такая прямая, которой они параллельны. Векторы компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, т.к. он не имеет определенного направления.

Будем говорить, что вектор раскладывается по векторам если он представим как их линейная комбинация: найдутся такие коэффициенты, что .

Нулевой вектор раскладывается по любой системе векторов: мы получим нулевой вектор, если возьмем линейную комбинацию этих векторов с нулевыми коэффициентами. Такая линейная комбинация называется тривиальной.

Система векторов называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом. Иначе говоря, система векторов линейно независима, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, или если из равенства следует, что .

Система векторов линейно зависима, если нулевой вектор раскладывается по ней не единственным образом, т.е. если найдутся такие коэффициенты , что , но при этом .

Свойства Л-З векторов и Л-НЗ : 1)Если среди векторов есть нулевой, то такая система — ЛЗ.(Рассмотрим комбинацию, в которой входит с коэффициентом 1, а остальные векторы — с нулевыми коэф-тами комбинация нетривиальна и равна нулевому вектору)

2)Система, содержащая один вектор — ЛЗ — если он нулевой.

3)Если к ЛЗ системе прибавить какие-то векторы , то полученная система будет будет ЛЗ. (К имеющеймя нетривиальной комбинации равной можно прибавить векторы с нулевыми коэф-тами)

4)Если в системе векторов какая-то часть линейно зависима, то вся система обязательно ЛЗ.

Отсюда, от противного, следует: любая часть ЛНЗ системы линейно независима.

Предложение 1. Если , то любой вектор коллинеарный представим в виде .Знак берут смотря по тому, направлены и одинаково или нет.

Предложение 2. Если вектор раскладывается по системе то это разложение единственно тогда и только тогда, когда система векторов линейно независима.

Док-во. Пусть существуют 2 разложения и . вычитая их почленно одно из другого, получаем: . если векторы линейно независимы, отсюда следует, что , … , , то есть оба разложения совпадают.

Обратно, если векторы линейно зависимы, существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору . мы можем прибавить её к имеющемуся разложению и получить новое разложение по тем же векторам . Предложние доказано.

Предложение 3. Система из k>1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается по остальным.

Док-во: Пусть система векторов линейно зависима, т.е. существуют такие коэф-ты , что и например отличен от нуля. Тогда мы можем разложить по остальным векторам . Обратно, пусть один из векторов, например, , разложен по остальным: . Это означает, что линейная комбинация векторов с коэф-тами -1, равна нулевому вектору. Предложение доказано.

Теорема 1.

Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда это — нулевой вектор. Система из 2х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Система из 3 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Доказательство. 1)Выше уже отмечалось, что нулевой вектор составляет ЛЗ систему. Система, содержащая только ненулевой вектор, линейно независима, т.к. при его умножении на число, отличное от нуля, получится ненулевой вектор.

2)Пусть и коллинеарны. Если то и линейно зависимы. Пусть . Тогда по предложению 1 раскладывается по . Таким образом, в любом случае коллинеарные векторы линейно зависимы. Обратно, из 2х ЛЗ векторов один обязательно раскладывается по другому и, следовательно, ему коллинеарен.

3)Пусть , и компланарны. Если и коллинеарны, то они ЛЗ, и тогда линейно зависимы все 3 вектора. Пусть и неколлинеарны. Разложим по ним. Для этого поместим начала всех векторов в одну точку О и проведем через конец С вектора прямую, параллельную до пересечения в точке P с прямой, на которой лежит . Теперь , причем и коллинеарны соответственно и . По доказанному выше найдутся числа и такие, что и . Таким образом, . Это означает, что , и линейно зависимы. Обратно, если , и линейно зависимы, то один из них раскладывается по 2м другим и, следовательно, им компланарен.

4)Рассмотрим 4 вектора , , и . Если , и компланарны, то они ЛЗ сами по себе и вместе с вектром . Пусть , и не компланарны. Аналогично предыдущему, докажем что раскладывается по ним. Поместим начала всех векторов в одну точку О и проведем через конец D вектора прямую, параллельную до пересечения в точке P с плоскостью, на которой лежат и . Теперь , причем компланарен и , а коллинеарен . По доказанному выше раскладывается по и , а - по . Значит, разложен по , и и составляет с ними линейно зависимую систему. Теорема доказана.

Комментарии