19. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы.

Определение. Пусть в матрице А существует линейно независимая система из r строк и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы А равен r. Нулевая матрица не содержит никакой линейно независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю.

Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен , если есть линейно независимая система из столбцов и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов.

Определение. Минором порядка k матрицы А называется детерминант некоторой ее квадратной подматрицы порядка k.

Предложение 1. Система из r строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется минор порядка r, отличный от нуля.

Док-во. . Пусть r строк линейно зависимы. Рассмотрим произвольный минор порядка r, расположенный в этих строках. Если строки линейно зависимы, то также линейно зависимы (с теми же коэффициентами) и отрезки этих строк, составляющие минор. По определению детерминанта минор равен 0.

. Обратное утверждение докажем по индукции. Одна строка линейно независима, если она не нулевая. В этом случае она содержит ненулевой элемент, являющийся минором порядка 1.

Пусть теперь даны r линейно независимых строк. Первый r-1 из них также линейно не зависимы и по предположению индукции содержат ненулевой минор порядка r-1. Пусть ,…,- номера столбцов этого минора. Рассмотрим отрезок r-й строки, расположенный под минором. Этот отрезок раскладывается в линейную комбинацию строк минора. Коэффициенты этой линейной комбинации обозначим ,…,.

Теперь будем рассматривать полные строки. Вычтем из последней строки линейную комбинацию предыдущих с теми же коэффициентами ,…,. Это обратит в нуль -й,…,-й элементы r-й строки, но не всю строку, так как строки линейно независимы. Таким образом, в преобразованной r-й строке есть ненулевой элемент, и его номер j отличен от номеров ,…,.

Возьмем минор порядка r, расположенный в столбцах с номерами ,…,,.

В преобразованной матрице этот минор отличен от нуля, в чем мы сразу убеждаемся, раскладывая его по последней строке. Отличен от нуля соответствующий минор и в непреобразованной матрице, так как прибавление к одной строке линейной комбинации остальных не меняет детерминанта. Предложение доказано.

Определение. В матрице А размеров m x n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными столбцами и строками А.

В силу предложения 1 базисные столбцы и строки линейно не зависимы.

Определение. Рангом матрицы (или минорным рангом) называется порядок базисного минора или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг нулевой матрицы по определению считают 0.

Отметим два очевидных свойства минорного ранга.

1) Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются и миноры не меняются.

2) Если А’-подматрица матрицы А, то ранг А’ не превосходит ранга А, так как ненулевой минор, входящий в А’, входит и в А.

Теорема 1. (О ранге матрицы). У любой матрицы минорный ранг равен строчному рангу и равен столбцовому рангу.

Действительно, если строчный ранг А равен r, то в А найдется линейно независимая система и r строк, а значит и ненулевой минор порядка r. Если при это есть p > r различных строк А, то они линейно зависимы, и любой минор порядка p в них равен нулю. Столбцовый ранг равен строчному рангу , значит, и минорному рангу , а потому – минорному рангу А.

Теорема 2.(О базисном миноре). Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Док-во. Каждый из базисных столбцов, разумеется, раскладывается по базисным: для этого достаточно взять сам этот столбец с коэффициентом 1, а остальное с нулевыми коэффициентами.

Пусть теперь - небазисный столбец. Базисные столбцы обозначим через ,…,. По теореме о ранге матрицы r+1 столбцов линейно зависимы, и найдутся такие коэффициенты, что +…++ = 0.

При этом мы можем быть уверены, что 0, так как иначе это равенство означало бы линейную зависимость базисных столбцов. Значит, справедливо разложение

= -- … -, существование которого мы и доказывали.

Комментарии